Nos Exercs. 3 a 8, obtenha as séries de Laurent das funçōes dadas, nas situações indicadas.
.
Passo 1
O enunciado pede a expansão em série de Laurent de
em torno de
. Vamos usar que
é analítica (entire) e tem expansão em série de potências, e que em
ela se anula com primeira derivada
, logo a singularidade de
em
será um polo de ordem 2.
Passo 2
Para simplificar, fazemos a mudança de variável
de modo que
e
Usamos a identidade trigonométrica
logo
Passo 3
Agora lembramos a expansão em série de Taylor de
em torno de
:
Passo 4
Substituímos essa expansão em
e dividimos termo a termo por
:
Expandindo, obtemos a série de Laurent em
:
Resposta
onde
. Em outras palavras, na vizinhança pontuada de
vale