Nos Exercs. 3 a 8, obtenha as séries de Laurent das funçōes dadas, nas situações indicadas.
f(z)=sen z(z-pi)^3, z0=pi, z neq pi.

Passo 1

O enunciado pede a expansão em série de Laurent de
f(z)=senz(z-pi)^3
em torno de z0=pi. Vamos usar que senz é analítica (entire) e tem expansão em série de potências, e que em pi ela se anula com primeira derivada cospi=-1neq0, logo a singularidade de f em z=pi será um polo de ordem 2.

Passo 2

Para simplificar, fazemos a mudança de variável
w = z - pi,
de modo que z=pi+w e
f(z)=sen(pi+w)w^3
Usamos a identidade trigonométrica
sen(pi+w)=-senw,
logo
f(z)=-senww^3

Passo 3

Agora lembramos a expansão em série de Taylor de senw em torno de w=0:
senw = w - w^33! + w^55! - w^77! + cdots

Passo 4

Substituímos essa expansão em
-senww^3 e dividimos termo a termo por w^3:
-senww^3 = -l(ww^3 - w^36,w^3 + w^5120,w^3 - cdotsr) = -l(w^-2 - tfrac16 + tfracw^2120 - cdotsr)
Expandindo, obtemos a série de Laurent em w:

Resposta

f(z) =;-1w^2 ;+;16;-;w^2120;+;w^45040;-cdots,
onde w=z-pi. Em outras palavras, na vizinhança pontuada de z=pi vale
f(z) =-1(z-pi)^2 ;+;16;-;(z-pi)^2120;+;(z-pi)^45040;-cdots

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