(a) (4 pontos) Calcule a seguinte integral
\int x \operatorname{arctg} x d x
(b) ( 2 pontos) Verifique, usando derivada, que a resposta dada no item anterior está correta.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: \n
(a) Calcular a integral \int x\,\operatorname{arctg} x\,dx
(b) Verificar, usando derivada, que a primitiva obtida no item (a) está correta.\n
Informações relevantes dadas: a função a integrar é o produto de x por \operatorname{arctg} x. Não há outras condições — buscamos uma antiderivada geral, ou seja, a primitiva mais constante +C.

Passo 2

Estratégia (por que escolher este método): aqui temos o produto de duas funções \operatorname{arctg} x e x. Uma técnica padrão para integrar produtos é a fórmula de integração por partes. Essa fórmula transforma uma integral de produto em termos mais simples. Vou usá-la porque uma parte ( \operatorname{arctg} x) fica mais simples ao derivar e a outra ( x) é fácil de integrar. Não é a única forma, mas é a mais direta e econômica para fazer à mão em prova.

Passo 3

Apresento a fórmula de integração por partes e explico o significado das letras: \n
A fórmula é
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Aqui u é uma função que escolhemos para diferenciar (obtemos du) e dv é a parte que integramos (obtemos v). A ideia é escolher u e dv para tornar \int v\,du mais simples que a integral original.\n
Escolho:
u = \operatorname{arctg} x,\qquad dv = x\,dx.

Passo 4

Calculo du e v: \n
Derivada de \operatorname{arctg} x é \dfrac{d}{dx}\big(\operatorname{arctg} x\big)=\dfrac{1}{1+x^{2}}. Então
du = \frac{1}{1+x^{2}}\,dx.
Integrando dv obtemos
v = \int x\,dx = \frac{x^{2}}{2}.
Agora aplico a fórmula de integração por partes.

Passo 5

Aplicando a fórmula:
\int x\,\operatorname{arctg} x\,dx = u v - \int v\,du = \frac{x^{2}}{2}\,\operatorname{arctg} x - \int \frac{x^{2}}{2}\cdot\frac{1}{1+x^{2}}\,dx.
Factorizando o \tfrac{1}{2} fora da integral:
\int x\,\operatorname{arctg} x\,dx = \frac{x^{2}}{2}\,\operatorname{arctg} x - \frac{1}{2}\int \frac{x^{2}}{1+x^{2}}\,dx.

Passo 6

Simplifico a integral \displaystyle\int \frac{x^{2}}{1+x^{2}}\,dx por divisão algébrica: escrevo
\frac{x^{2}}{1+x^{2}} = \frac{1+x^{2}-1}{1+x^{2}} = 1 - \frac{1}{1+x^{2}}.
Assim
\int \frac{x^{2}}{1+x^{2}}\,dx = \int\left(1 - \frac{1}{1+x^{2}}\right)dx = \int 1\,dx - \int \frac{1}{1+x^{2}}\,dx.
As antiderivadas são \int 1\,dx = x e \int \dfrac{1}{1+x^{2}}\,dx = \operatorname{arctg} x. Portanto
\int \frac{x^{2}}{1+x^{2}}\,dx = x - \operatorname{arctg} x + C.

Passo 7

Voltando à expressão do Passo 5, substituo o resultado do Passo 6:
\int x\,\operatorname{arctg} x\,dx = \frac{x^{2}}{2}\,\operatorname{arctg} x - \frac{1}{2}\big(x - \operatorname{arctg} x\big) + C.
Agora simplifico agrupando termos envolvendo \operatorname{arctg} x:
\int x\,\operatorname{arctg} x\,dx = \frac{x^{2}}{2}\,\operatorname{arctg} x - \frac{x}{2} + \frac{1}{2}\operatorname{arctg} x + C.
Fatorando \operatorname{arctg} x se desejar, obtemos a forma mais compacta
\int x\,\operatorname{arctg} x\,dx = \frac{x^{2}+1}{2}\,\operatorname{arctg} x - \frac{x}{2} + C.

Passo 8

Agora verifico (item b) derivando a primitiva encontrada para retornar à função integranda. Seja
F(x)=\frac{x^{2}+1}{2}\,\operatorname{arctg} x - \frac{x}{2}.
Quero \dfrac{d}{dx}F(x). Uso a regra do produto na primeira parcela e regra da derivada usual na segunda.\n
Derivada da primeira parcela \dfrac{x^{2}+1}{2}\cdot\operatorname{arctg} x:
  • derivada de \dfrac{x^{2}+1}{2} é \dfrac{2x}{2}=x,
  • derivada de \operatorname{arctg} x é \dfrac{1}{1+x^{2}}.\n
    Pela regra do produto:
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x^{2}+1}{2}\operatorname{arctg} x\right) = x\cdot\operatorname{arctg} x + \frac{x^{2}+1}{2}\cdot\frac{1}{1+x^{2}}.
A segunda parcela -\dfrac{x}{2} tem derivada -\dfrac{1}{2}. Somando:
F'(x)= x\,\operatorname{arctg} x + \frac{x^{2}+1}{2(1+x^{2})} - \frac{1}{2}.
Como \dfrac{x^{2}+1}{1+x^{2}}=1, a fração vira \dfrac{1}{2}. Logo
F'(x)= x\,\operatorname{arctg} x + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = x\,\operatorname{arctg} x.
Isso confirma que a primitiva está correta.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{x^{2}+1}{2}\,\operatorname{arctg} x - \frac{x}{2} + C\n
(b) \displaystyle \frac{d}{dx}\!\left(\frac{x^{2}+1}{2}\,\operatorname{arctg} x - \frac{x}{2}\right)=x\,\operatorname{arctg} x

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