(a) (4 pontos) Calcule a seguinte integral
(b) ( 2 pontos) Verifique, usando derivada, que a resposta dada no item anterior está correta.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: \n
(a) Calcular a integral
(b) Verificar, usando derivada, que a primitiva obtida no item (a) está correta.\n
Informações relevantes dadas: a função a integrar é o produto de por
. Não há outras condições — buscamos uma antiderivada geral, ou seja, a primitiva mais constante
.
Informações relevantes dadas: a função a integrar é o produto de
Passo 2
Estratégia (por que escolher este método): aqui temos o produto de duas funções
e
. Uma técnica padrão para integrar produtos é a fórmula de integração por partes. Essa fórmula transforma uma integral de produto em termos mais simples. Vou usá-la porque uma parte (
) fica mais simples ao derivar e a outra (
) é fácil de integrar. Não é a única forma, mas é a mais direta e econômica para fazer à mão em prova.
Passo 3
Apresento a fórmula de integração por partes e explico o significado das letras: \n
A fórmula é
A fórmula é
Aqui
é uma função que escolhemos para diferenciar (obtemos
) e
é a parte que integramos (obtemos
). A ideia é escolher
e
para tornar
mais simples que a integral original.\n
Escolho:
Escolho:
Passo 4
Calculo
e
: \n
Derivada de é
. Então
Derivada de
Integrando
obtemos
Agora aplico a fórmula de integração por partes.
Passo 5
Aplicando a fórmula:
Factorizando o
fora da integral:
Passo 6
Simplifico a integral
por divisão algébrica: escrevo
Assim
As antiderivadas são
e
. Portanto
Passo 7
Voltando à expressão do Passo 5, substituo o resultado do Passo 6:
Agora simplifico agrupando termos envolvendo
:
Fatorando
se desejar, obtemos a forma mais compacta
Passo 8
Agora verifico (item b) derivando a primitiva encontrada para retornar à função integranda. Seja
Quero
. Uso a regra do produto na primeira parcela e regra da derivada usual na segunda.\n
Derivada da primeira parcela :
Derivada da primeira parcela
- derivada de
é , - derivada de
é .\n
Pela regra do produto:
A segunda parcela
tem derivada
. Somando:
Como
, a fração vira
. Logo
Isso confirma que a primitiva está correta.
Resposta
(a)
\n
(b)
(b)