Calcule as seguintes integrais indefinidas, utilizando, quando necessário, mudança de variáveis. Sempre que julgar conveniente, faça uso da tabela 15.1 de integrais indefinidas da página 164.
1.
\int(x+\sqrt{x}) dx. Resposta. \frac{x^{2}}{2}+\frac{2 x \sqrt{x}}{3}+C.

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int\bigl(x+\sqrt{x}\bigr)\,dx
que envolve a aplicação da regra de potência (tabela 15.1):
\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C,\quad n\neq -1.

Passo 2

Note que \sqrt{x}=x^{1/2}. Assim
\int\bigl(x+\sqrt{x}\bigr)\,dx =\int x\,dx+\int x^{1/2}\,dx.

Passo 3

Aplicando a regra de potência em cada termo:
\int x\,dx = \frac{x^{2}}{2}, \qquad \int x^{1/2}\,dx = \frac{x^{(1/2)+1}}{(1/2)+1} = \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}\,x^{3/2}.

Passo 4

Reescrevendo x^{3/2} como x\sqrt{x} e somando as partes, ficamos com
\frac{x^{2}}{2}+\frac{2}{3}\,x\sqrt{x}+C.

Resposta

\frac{x^{2}}{2}+\frac{2\,x\sqrt{x}}{3}+C

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