Se f^{\prime \prime}(x)=3 x^{2}+6 x-4, f(0)=3 e f(1)=1, determinar f(x).

Passo 1

O enunciado dá a segunda derivada
f''(x)=3x^2+6x-4
e as condições de contorno
f(0)=3,\quad f(1)=1.
O conteúdo é integrar duas vezes para recuperar f(x) e usar as condições para determinar as constantes de integração.

Passo 2

Integramos \,f''(x)=3x^2+6x-4 para obter f'(x). Assim,
f'(x)=\int\bigl(3x^2+6x-4\bigr)\,dx =x^3+3x^2-4x+C_1.

Passo 3

Agora integramos f'(x)=x^3+3x^2-4x+C_1 para obter f(x). Logo,
f(x)=\int\bigl(x^3+3x^2-4x+C_1\bigr)\,dx =\frac{1}{4}x^4+x^3-2x^2+C_1x+C_2.

Passo 4

Usamos f(0)=3. Substituindo x=0 em
f(0)=\frac{1}{4}\cdot0^4+0^3-2\cdot0^2+C_1\cdot0+C_2
vem C_2=3.

Passo 5

Usamos f(1)=1. Substituindo x=1 em
f(1)=\frac{1}{4}+1-2+C_1+3
temos \tfrac{1}{4}+1-2+3 = \tfrac{1}{4}+2 = \tfrac{9}{4}, logo
\tfrac{9}{4}+C_1=1 \quad\Longrightarrow\quad C_1=1-\tfrac{9}{4}=-\tfrac{5}{4}.

Resposta

f(x)=\frac{1}{4}x^4 + x^3 - 2x^2 - \frac{5}{4}x + 3.

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