Se f^{\prime}(x)=e^{x}-20 \cos (x), f(0)=-2, determinar f(x).

Passo 1

O enunciado dá que
f'(x)=e^{x}-20\cos(x)
e que
f(0)=-2.
O conteúdo aqui é encontrar uma primitiva de f'(x) (ou seja, integrar) e depois usar a condição inicial para determinar a constante de integração.

Passo 2

Para obter f(x), integramos cada termo de f'(x):
\int e^{x}\,dx=e^{x},
\int -20\cos(x)\,dx=-20\sin(x).
Logo a antiderivada geral é
f(x)=e^{x}-20\sin(x)+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 3

Usamos a condição inicial f(0)=-2. Substituindo x=0 em
f(x)=e^{x}-20\sin(x)+C
temos
f(0)=e^{0}-20\sin(0)+C=1-0+C= -2.
Logo
1+C=-2\quad\Longrightarrow\quad C=-3.

Resposta

f(x)=e^{x}-20\sin(x)-3.

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