Calcule as seguintes integrais indefinidas, utilizando, quando necessário, mudança de variáveis. Sempre que julgar conveniente, faça uso da tabela de integrais indefinidas.
\int \frac{1}{\operatorname{sen}^{2} 3 x} d x. Resposta. -\frac{\operatorname{cotg} 3 x}{3}+C.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{1}{\operatorname{sen}^{2}(3x)}\,dx
O conteúdo envolve integrais trigonométricas e, em particular, a identidade de que
\frac{1}{\operatorname{sen}^{2}u}=\csc^{2}u
e a fórmula da tabela
\int \csc^{2}u\,du=-\cot u + C.

Passo 2

Reescrevemos o integrando usando a função cosseno recíproca:
\frac{1}{\operatorname{sen}^{2}(3x)}=\csc^{2}(3x).

Passo 3

Fazemos a mudança de variável
u=3x \quad\Rightarrow\quad du=3\,dx \quad\Rightarrow\quad dx=\frac{du}{3}.
Substituindo na integral, fica
\int \csc^{2}(3x)\,dx =\int \csc^{2}(u)\,\frac{du}{3} =\frac{1}{3}\int \csc^{2}(u)\,du.

Passo 4

Aplicamos a fórmula da tabela para \int \csc^{2}(u)\,du:
\frac{1}{3}\int \csc^{2}(u)\,du =\frac{1}{3}\bigl(-\cot u\bigr)+C =-\frac{1}{3}\cot u + C.

Passo 5

Voltando à variável original x (ou seja, u=3x):
-\frac{1}{3}\cot(3x)+C.

Resposta

-\frac{\operatorname{cotg}3x}{3}+C

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