Nos exercícios 01 a 12, calcule a integral de linha ao longo do caminho indicado.
\int_{C} x y d x+\left(y^{2}-x^{2}\right) d y, C a fronteira da região fechada, determinada pelos arcos das parábolas y=x^{2} e x=y^{2}, para x \in[0,1], percorrida no sentido positivo.

Passo 1

O enunciado pede o valor de
\int_{C} x\,y\,dx + \bigl(y^{2}-x^{2}\bigr)\,dy
onde C é a fronteira orientada positivamente da região D no primeiro quadrante limitada pelas parábolas y = x^{2} e x = y^{2} para 0 \le x \le 1. Vamos usar o Teorema de Green, que transforma a integral de linha em uma integral dupla sobre D.

Passo 2

Identificamos
P(x,y) = x\,y, \quad Q(x,y) = y^{2} - x^{2}.
Pelo Teorema de Green,
\int_{C} P\,dx + Q\,dy = \iint_{D} \bigl(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\bigr)\,dA.
Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial Q}{\partial x} = -2x, \quad \frac{\partial P}{\partial y} = x,
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\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = -2x - x = -3x.

Passo 3

Descrevemos D como o conjunto \{(x,y)\mid 0 \le x \le 1,\;x^{2} \le y \le \sqrt{x}\},
pois y = x^{2} fica abaixo de y = \sqrt{x} no intervalo indicado.

Passo 4

Montamos a integral dupla de x sobre D e calculamos:
\iint_{D} x\,dA = \int_{0}^{1}\!\int_{x^{2}}^{\sqrt{x}} x\,dy\,dx = \int_{0}^{1} x\bigl(\sqrt{x} - x^{2}\bigr)\,dx = \int_{0}^{1} \bigl(x^{3/2} - x^{3}\bigr)\,dx.
Agora,
\int_{0}^{1} x^{3/2}\,dx = \frac{2}{5}, \quad \int_{0}^{1} x^{3}\,dx = \frac{1}{4},
portanto
\iint_{D} x\,dA = \frac{2}{5} - \frac{1}{4} = \frac{8 - 5}{20} = \frac{3}{20}.

Passo 5

Substituindo no Teorema de Green:
\int_{C} x\,y\,dx + (y^{2}-x^{2})\,dy = \iint_{D} (-3x)\,dA = -3 \,\iint_{D} x\,dA = -3 \cdot \frac{3}{20} = -\frac{9}{20}.

Resposta

-\tfrac{9}{20}

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