Calcule as seguintes integrais indicando o método utilizado
\int_{0}^{2 \pi} \frac{d \theta}{2+\sin \theta}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral
I = \int_{0}^{2\pi} \frac{d\theta}{2 + \sin\theta},
que é uma integral de função periódica que envolve uma razão trigonométrica. Vamos usar a substituição de Weierstrass
t = \tan\frac{\theta}{2},
que transforma funções de \sin\theta e d\theta em funções racionais de t.

Passo 2

Com t=\tan\frac{\theta}{2} temos as fórmulas padrão
\sin\theta = \frac{2t}{1+t^2}, \qquad d\theta = \frac{2\,dt}{1+t^2}.
No denominador da integral aparece 2 + \sin\theta, então substituímos:
2 + \sin\theta = 2 + \frac{2t}{1+t^2} = \frac{2(1+t^2) + 2t}{1+t^2} = \frac{2\bigl(t^2 + t + 1\bigr)}{1+t^2}.

Passo 3

Agora expressamos o integrando em t:
\frac{d\theta}{2 + \sin\theta} = \frac{\frac{2\,dt}{1+t^2}}{\frac{2\bigl(t^2+t+1\bigr)}{1+t^2}} = \frac{dt}{t^2 + t + 1}.
Resta verificar os limites em t. Quando \theta vai de 0 a 2\pi, t=\tan(\theta/2) percorre todo o eixo real de -\infty a +\infty (passando por +\infty em \theta=\pi). Assim
I = \int_{0}^{2\pi}\frac{d\theta}{2+\sin\theta} = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{dt}{t^2 + t + 1}.

Passo 4

Para calcular
\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{dt}{t^2 + t + 1},
completamos o quadrado em t^2 + t + 1:
t^2 + t + 1 = \Bigl(t + \tfrac12\Bigr)^2 + \frac34 = \Bigl(t + \tfrac12\Bigr)^2 + \Bigl(\tfrac{\sqrt3}{2}\Bigr)^2.
Fazendo a mudança u = t + \tfrac12, temos
\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{dt}{t^2 + t + 1} = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{du}{u^2 + (\tfrac{\sqrt3}{2})^2} = \left[\frac{2}{\sqrt3}\,\arctan\!\Bigl(\tfrac{u}{\tfrac{\sqrt3}{2}}\Bigr)\right]_{-\infty}^{+\infty} = \frac{2}{\sqrt3}\,\pi.

Resposta

\int_{0}^{2\pi} \frac{d\theta}{2 + \sin\theta} = \frac{2\pi}{\sqrt3}.

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