Calcule as seguintes integrais indicando o método utilizado
\oint_{\gamma:|z|=4} \frac{5 z-2}{z(z-1)} d z

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de contorno
\oint_{\gamma:|z|=4}\frac{5z-2}{z(z-1)}\,dz.
O método mais eficiente aqui é o Teorema dos Resíduos em variável complexa.

Passo 2

Identificamos os polos simples da função
f(z)=\frac{5z-2}{z(z-1)}
em z=0 e z=1. Como |0|=0<4 e |1|=1<4, ambos estão dentro da curva \gamma.

Passo 3

Calculamos os resíduos em cada polo.
Para z=0,
\Res(f,0) =\lim_{z\to0}z\frac{5z-2}{z(z-1)} =\lim_{z\to0}\frac{5z-2}{z-1} =\frac{-2}{-1} =2.
Para z=1,
\Res(f,1) =\lim_{z\to1}(z-1)\frac{5z-2}{z(z-1)} =\lim_{z\to1}\frac{5z-2}{z} =\frac{5-2}{1} =3.

Passo 4

Pelo Teorema dos Resíduos,
\oint_{\gamma}f(z)\,dz =2\pi i\sum_{\text{polos}} \Res(f) =2\pi i\,(2+3) =10\pi i.

Resposta

10\pi i

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