Forneça o que se pede
Encontre as raízes quadradas de 4 i na forma cartesiana.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as raízes quadradas de \,4i. O conteúdo envolvido é a extração de raiz quadrada de número complexo, para o qual vamos:
  1. Escrever \,4i em forma polar;
  2. Usar que, se \,z=re^{i\theta}, então as raízes quadradas são
\pm\sqrt{r}\,e^{i\theta/2}.

Passo 2

Para colocar \,4i em forma polar, calculamos sua magnitude e argumento:
r = |4i| = 4, \quad \theta = \arg(4i) = \frac{\pi}{2}.
Logo
4i = 4\,e^{i\pi/2}.

Passo 3

Aplicando a fórmula da raiz quadrada, obtemos as duas soluções
\sqrt{4i} = \pm \sqrt{4}\,e^{i(\pi/2)/2} = \pm 2\,e^{i\pi/4} \quad\text{e}\quad \pm 2\,e^{i(\pi/2/2 + \pi)} = \pm 2\,e^{i5\pi/4}.

Passo 4

Agora convertemos para a forma cartesiana, usando
\cos\frac{\pi}{4}=\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2} e
\cos\frac{5\pi}{4}=\sin\frac{5\pi}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}:
2\,e^{i\pi/4} = 2\Bigl(\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}\Bigr) = \sqrt{2} + i\sqrt{2},
2\,e^{i5\pi/4} = 2\Bigl(-\frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}\Bigr) = -\sqrt{2} - i\sqrt{2}.

Resposta

As raízes quadradas de 4i na forma cartesiana são
\sqrt{2} + i\sqrt{2} e -\sqrt{2} - i\sqrt{2}.

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