Calcule as seguintes integrais indicando o método utilizado
\int_{0}^{1} \sqrt{x} \cdot \sqrt{(1-x)} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{1} \sqrt{x}\,\sqrt{1-x}\,dx
O conteúdo envolve uso de substituição trigonométrica (ou, alternativamente, a função Beta). Aqui vamos usar substituição trignométrica.

Passo 2

Fazemos a troca de variável
x = \sin^{2}\theta \quad\Longrightarrow\quad dx = 2\sin\theta\cos\theta\,d\theta
e então
\sqrt{x} = \sin\theta, \quad \sqrt{1-x} = \cos\theta.
Quando x=0, tem \theta=0; quando x=1, tem \theta=\tfrac{\pi}{2}.

Passo 3

Substituindo na integral, obtemos
\int_{0}^{1} \sqrt{x}\,\sqrt{1-x}\,dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin\theta\;\cos\theta\;\bigl(2\sin\theta\cos\theta\bigr)\,d\theta = 2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2}\theta\;\cos^{2}\theta\,d\theta.

Passo 4

Usamos a identidade
\sin^{2}\theta\,\cos^{2}\theta = \frac{1}{4}\sin^{2}(2\theta) = \frac{1}{4}\,\frac{1-\cos(4\theta)}{2} = \frac{1-\cos(4\theta)}{8}.
Portanto
2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2}\theta\cos^{2}\theta\,d\theta = 2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1-\cos(4\theta)}{8}\,d\theta = \frac{1}{4}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\bigl(1-\cos(4\theta)\bigr)\,d\theta.

Passo 5

Calculando a integral:
\frac{1}{4}\left[\theta - \tfrac{1}{4}\sin(4\theta)\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{4}\Bigl(\tfrac{\pi}{2}-0\Bigr) = \frac{\pi}{8}.

Resposta

\int_{0}^{1} \sqrt{x}\,\sqrt{1-x}\,dx = \frac{\pi}{8}.

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