Exercício: Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2} \operatorname{sen}^{2} y}{x^{2}+2 y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{2}\sin^{2}y}{x^{2}+2y^{2}}.
Isso é um limite de função de duas variáveis em direção à origem. Para mostrar que existe e achar o valor, vamos usar desigualdades que comparem essa expressão a quantidades que tendem a zero.

Passo 2

Usamos que para todo y vale \sin^{2}y\le y^{2}. Logo, em módulo,
\left|\frac{x^{2}\sin^{2}y}{x^{2}+2y^{2}}\right| \le \frac{x^{2}\,y^{2}}{x^{2}+2y^{2}}.

Passo 3

Note que
\frac{x^{2}\,y^{2}}{x^{2}+2y^{2}} = y^{2}\,\frac{x^{2}}{x^{2}+2y^{2}} \le y^{2}\cdot 1 = y^{2},
pois \frac{x^{2}}{x^{2}+2y^{2}}\le1. Como y^{2}\to0 quando (x,y)\to(0,0), pelo Teorema do Confronto segue que
\frac{x^{2}\sin^{2}y}{x^{2}+2y^{2}}\;\longrightarrow\;0.

Resposta

O limite existe e vale 0.

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