(1,0 pto) Use a Transformada de Laplace para encontrar a solução do seguinte Problema de Valor Inicial:
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime}+2 y=1 \\\ y(0)=3 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
\begin{cases} y'(t) + 2\,y(t) = 1,\\\ y(0)=3, \end{cases}
usando a Transformada de Laplace. Vamos usar as fórmulas
\mathcal{L}\{y'(t)\} = s\,Y(s) - y(0) e \mathcal{L}\{1\} = 1/s,
onde Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}.

Passo 2

Aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados de
y'(t) + 2\,y(t) = 1
obtendo
\mathcal{L}\{y'(t)\} + 2\,\mathcal{L}\{y(t)\} = \mathcal{L}\{1\}
\bigl(s\,Y(s) - y(0)\bigr) + 2\,Y(s) = \frac{1}{s}.

Passo 3

Substituindo y(0)=3, a equação em Y(s) fica
(s\,Y(s) - 3) + 2\,Y(s) = \frac{1}{s}
(s + 2)\,Y(s) - 3 = \frac{1}{s}
Y(s) = \frac{\frac{1}{s} + 3}{s + 2} = \frac{1}{s\,(s + 2)} + \frac{3}{s + 2}.

Passo 4

Fazemos frações parciais na parcela \dfrac{1}{s(s+2)}:
\frac{1}{s(s+2)} = \frac{A}{s} + \frac{B}{s+2} \quad\Rightarrow\quad A(s+2) + B\,s = 1.
Igualando coeficientes:
para s: A + B = 0, e termo constante: 2A = 1,
logo A = \tfrac12, B = -\tfrac12.
Então
Y(s) = \frac{1}{2}\,\frac{1}{s} - \frac{1}{2}\,\frac{1}{s+2} + \frac{3}{s+2} = \frac{1}{2}\,\frac{1}{s} + \frac{5}{2}\,\frac{1}{s+2}.

Passo 5

Aplicamos a transformada inversa a cada termo:
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{1}{2}\,\frac{1}{s}\Bigr\} = \frac{1}{2}, \quad \mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{5}{2}\,\frac{1}{s+2}\Bigr\} = \frac{5}{2}\,e^{-2t}.
Portanto a solução no domínio do tempo é
y(t) = \frac{1}{2} + \frac{5}{2}\,e^{-2t}.

Resposta

y(t) = \frac{5}{2}\,e^{-2t} + \frac{1}{2}.

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