Forneça o que se pede
Encontre uma função analítica f(z)=u+i v tal que u(x, y)=e^{x} \cos y.

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos uma função analítica f(z)=u(x,y)+i\,v(x,y) cujo parte real seja
u(x,y)=e^{x}\cos y.
Como f é holomorfa, u e v satisfazem as equações de Cauchy–Riemann.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de u:
u_x = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{x}\cos y\bigr)=e^{x}\cos y,
u_y = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{x}\cos y\bigr)=-\,e^{x}\sin y.
As equações de Cauchy–Riemann são
u_x = v_y \quad\text{e}\quad u_y = -\,v_x.

Passo 3

Das equações de Cauchy–Riemann obtemos
v_y = u_x = e^{x}\cos y,
v_x = -\,u_y = e^{x}\sin y.
Podemos integrar v_x em relação a x:
v(x,y)=\int e^{x}\sin y\,dx = e^{x}\sin y + \varphi(y),
onde \varphi depende só de y. Então
v_y = e^{x}\cos y + \varphi'(y)
deve ser igual a e^{x}\cos y, o que força \varphi'(y)=0. Assim \varphi(y) é constante, que podemos tomar zero.

Passo 4

Portanto um conjugado harmônico de u é
v(x,y)=e^{x}\sin y.
Logo a função analítica procurada é
f(z)=u+i\,v = e^{x}\cos y + i\,e^{x}\sin y.
Mas e^{x}\cos y + i\,e^{x}\sin y = e^{x+iy}=e^{z}.

Resposta

Uma escolha simples é
f(z)=e^{z},
pois e^{z}=e^{x}\cos y + i\,e^{x}\sin y tem parte real u(x,y)=e^{x}\cos y.

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