Forneça o que se pede
Encontre uma função analítica
tal que
.
Encontre uma função analítica
Passo 1
O enunciado pede para encontrarmos uma função analítica
cujo parte real seja
Como
é holomorfa,
e
satisfazem as equações de Cauchy–Riemann.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de
:
As equações de Cauchy–Riemann são
Passo 3
Das equações de Cauchy–Riemann obtemos
Podemos integrar
em relação a
:
onde
depende só de
. Então
deve ser igual a
, o que força
. Assim
é constante, que podemos tomar zero.
Passo 4
Portanto um conjugado harmônico de
é
Logo a função analítica procurada é
Mas
.
Resposta
Uma escolha simples é
pois
tem parte real
.