Calcule as seguintes integrais.
\int arctg \sqrt{x} d x Sugestão. Ao deparar-se com \int \frac{x}{2 \sqrt{x}(1+x)} d x, faça z=\sqrt{x}.

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular a integral \int \arctan(\sqrt{x})\,dx. O conteúdo principal aqui é a técnica de integração por partes, e ao final vamos usar a sugestão de fazer a substituição z=\sqrt{x} para resolver a integral que surgir.

Passo 2

Escolhemos u = \arctan(\sqrt{x}) e dv = dx.
Então
du = \frac{1}{1+(\sqrt{x})^2}\cdot\frac{d}{dx}(\sqrt{x})\,dx = \frac{1}{1+x}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}\,dx = \frac{dx}{2\sqrt{x}(1+x)},
e
v = \int dv = \int dx = x.

Passo 3

Pela fórmula de integração por partes,
\int u\,dv = uv - \int v\,du,
obtém-se
\int \arctan(\sqrt{x})\,dx = x\,\arctan(\sqrt{x}) - \int x\cdot\frac{dx}{2\sqrt{x}(1+x)} = x\,\arctan(\sqrt{x}) - \frac{1}{2}\int \frac{x}{\sqrt{x}(1+x)}\,dx.
Como \frac{x}{\sqrt{x}}=\sqrt{x}, isso simplifica para
\int \arctan(\sqrt{x})\,dx = x\,\arctan(\sqrt{x}) - \frac{1}{2}\int \frac{\sqrt{x}}{1+x}\,dx.

Passo 4

Agora focamos em
\int \frac{\sqrt{x}}{1+x}\,dx.
Aplicamos a sugestão: faça z=\sqrt{x}.

Passo 5

Com z=\sqrt{x} temos x=z^2 e dx=2z\,dz. Logo,
\int \frac{\sqrt{x}}{1+x}\,dx = \int \frac{z}{1+z^2}\,2z\,dz = 2\int \frac{z^2}{1+z^2}\,dz.
Escrevendo z^2 = (z^2+1)-1,
2\int \frac{z^2}{1+z^2}\,dz = 2\int\Bigl(1 - \frac{1}{1+z^2}\Bigr)\,dz = 2\int 1\,dz - 2\int \frac{1}{1+z^2}\,dz = 2z - 2\arctan(z) + C.
Voltando a x:
\int \frac{\sqrt{x}}{1+x}\,dx = 2\sqrt{x} - 2\arctan(\sqrt{x}) + C.

Passo 6

Substituindo esse resultado na expressão da Passo 3,
\int \arctan(\sqrt{x})\,dx = x\,\arctan(\sqrt{x}) - \frac{1}{2}\bigl(2\sqrt{x} - 2\arctan(\sqrt{x})\bigr) + C = x\,\arctan(\sqrt{x}) - \sqrt{x} + \arctan(\sqrt{x}) + C.
Reagrupando, obtemos
(x+1)\arctan(\sqrt{x}) - \sqrt{x} + C.

Resposta

(x+1)\arctan(\sqrt{x}) - \sqrt{x} + C.

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