Verifique se as séries abaixo convergem ou divergem, justificando convenientemente:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^{3}+5}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^{3}+5}.
O conteúdo principal aqui é teste de comparação de séries de termos positivos e uso da convergência de séries p-adicas (p-séries).

Passo 2

Observamos que, para todo n\ge1, o termo geral
a_n = \frac{n}{n^3 + 5}
é positivo. Como n^3+5\ge n^3, podemos comparar a_n com a série
\sum_{n=1}^\infty \frac1{n^2},
que é uma p-série com p=2.

Passo 3

Para n\ge1 vale
0 < \frac{n}{n^3 + 5} \le \frac{n}{n^3} = \frac1{n^2}.
Como se tem a desigualdade direta entre termos, podemos aplicar o teste de comparação direta.

Passo 4

Sabemos que a série
\sum_{n=1}^\infty \frac1{n^2}
converge (é uma p-série com p=2>1). Logo, pela comparação direta, a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^{3}+5}
também converge.

Resposta

A série converge por comparação com a p-série \sum 1/n^2.

Exercícios relacionados