Calcule as seguintes integrais.
\int \frac{x \operatorname{arcsan} x}{\sqrt{1-x^{2}}} d x.

Passo 1

O enunciado pede calcular \displaystyle \int \frac{x\,\arcsin x}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx.
O conteúdo é integração de função envolvendo arco-seno e usaremos a substituição u=\arcsin x, lembrando que \displaystyle \frac{d}{dx}(\arcsin x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = \arcsin x,
que implica \sin u = x, \sqrt{1-x^{2}} = \cos u
e \,dx = \cos u\,du.

Passo 3

Substituindo na integral original, obtemos
\int \frac{x\,\arcsin x}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx = \int \frac{\sin u \cdot u}{\cos u}\;\cos u\,du = \int u\,\sin u\,du.

Passo 4

Para calcular \displaystyle \int u\,\sin u\,du
usamos integração por partes, tomando A = u e dB = \sin u\,du.
Então dA = du e B = -\cos u.
Portanto,
\int u\,\sin u\,du = A\,B - \int B\,dA = -u\cos u + \int \cos u\,du = -u\cos u + \sin u + C.

Passo 5

Voltando à variável x, temos u = \arcsin x, \cos u = \sqrt{1-x^{2}} e \sin u = x.
Logo a primitiva fica
-\arcsin x\;\sqrt{1-x^{2}} + x + C.

Resposta

\boxed{ -\arcsin x\;\sqrt{1-x^{2}} \;+\; x \;+\; C }

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