Calcule as seguintes integrais.
\int \operatorname{arcsen} \sqrt{\frac{x}{x+1}} d x. Sugestão. Não se deixe intimidar. Comece fazendo u=\operatorname{arcsen} \sqrt{\frac{1}{x+1}}\,, d v=d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \arcsin\sqrt{\frac{x}{x+1}}\;dx.
O conteúdo principal é usar integração por partes junto com uma mudança trigonométrica que tira o “ \sqrt{x/(x+1)}” do arco-seno.

Passo 2

Observação chave: se definirmos
u = \arcsin\sqrt{\frac{1}{x+1}},
então
\sqrt{\frac{1}{x+1}} = \sin u \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{\frac{x}{x+1}} = \cos u,
e assim
\arcsin\sqrt{\frac{x}{x+1}} = \arcsin(\cos u) = \frac{\pi}{2}-u.

Passo 3

Substituindo na integral original:
\int \arcsin\sqrt{\frac{x}{x+1}}\;dx = \int\Bigl(\tfrac{\pi}{2}-u\Bigr)\,dx = \frac{\pi}{2}\,x - \int u\,dx.
Resta calcular \displaystyle\int u\,dx.

Passo 4

Fazemos integração por partes em \displaystyle\int u\,dx, tomando
U = u, \quad dV = dx \;\Longrightarrow\; V = x, \quad dU = du.
Logo
\int u\,dx = x\,u - \int x\,du.

Passo 5

Calculamos du. Como
u = \arcsin\bigl((x+1)^{-1/2}\bigr),
temos
h(x)=(x+1)^{-1/2}, \quad h'(x)=-\tfrac12\,(x+1)^{-3/2},
e
du = \frac{h'(x)}{\sqrt{1-h(x)^2}}\,dx = -\frac{\tfrac12\,(x+1)^{-3/2}}{\sqrt{1-\tfrac1{x+1}}}\,dx = -\frac{1}{2(x+1)\sqrt{x}}\;dx.

Passo 6

Então
\int u\,dx = x\,u - \int x\,du = x\,u + \frac12 \int \frac{x}{(x+1)\sqrt{x}}\;dx = x\,u + \frac12\int\frac{\sqrt{x}}{x+1}\;dx.

Passo 7

Para \displaystyle\int\frac{\sqrt{x}}{x+1}\,dx use t=\sqrt{x}, x=t^2, dx=2t\,dt:
\int\frac{\sqrt{x}}{x+1}\;dx = 2\int \frac{t^2}{t^2+1}\;dt =2\int\Bigl(1-\frac1{t^2+1}\Bigr)dt =2t -2\arctan t +C =2\sqrt{x}-2\arctan\sqrt{x}+C.
Assim
\frac12\int\frac{\sqrt{x}}{x+1}dx =\sqrt{x}-\arctan\sqrt{x}.

Passo 8

Reunindo tudo:
\int u\,dx = x\,u + \sqrt{x}-\arctan\sqrt{x}+C
e
\int \arcsin\sqrt{\tfrac{x}{x+1}}\,dx = \frac{\pi}{2}x - \bigl(x\,u + \sqrt{x}-\arctan\sqrt{x}\bigr)+C.
Voltando a u=\arcsin\sqrt{\tfrac{1}{x+1}}:

Resposta

\boxed{ \int \arcsin\sqrt{\frac{x}{x+1}}\,dx = \frac{\pi}{2}\,x - x\,\arcsin\sqrt{\frac{1}{x+1}} - \sqrt{x} + \arctan\sqrt{x} + C. }

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