Calcule as seguintes integrais.
\int \frac{x \operatorname{arcsen} x}{\sqrt{\left(1-x^{2}\right)^{2}}} d x.

Passo 1

O enunciado pede
I=\int \frac{x\arcsin x}{\sqrt{\bigl(1-x^{2}\bigr)^{2}}}\,dx.
O conteúdo principal aqui é usar mudança de variável trigonométrica e depois integração por partes. Vamos precisar também conhecer uma forma fechada (em termos da função de Clausen) para o integral de \ln(\cos t).

Passo 2

Como \arcsin x exige -1\le x\le1, temos 1-x^2\ge0 e
\sqrt{\bigl(1-x^{2}\bigr)^{2}}=1-x^{2}.
Logo
I=\int \frac{x\arcsin x}{1-x^{2}}\,dx.

Passo 3

Use a substituição trigonométrica
x=\sin t,\quad t=\arcsin x,\quad dx=\cos t\,dt,\quad 1-x^{2}=\cos^{2}t.
Então
I=\int \frac{\sin t\,(t)}{\cos^{2}t}\,\cos t\,dt =\int t\,\tan t\,dt.

Passo 4

Aplique integração por partes em \displaystyle \int t\,\tan t\,dt
escolhendo
u=t,\quad dv=\tan t\,dt\quad\Longrightarrow\quad du=dt,\quad v=-\ln\bigl(\cos t\bigr).
Isso dá
\int t\,\tan t\,dt =-\,t\ln\bigl(\cos t\bigr) +\int \ln\bigl(\cos t\bigr)\,dt.
Portanto
I=-\,t\ln\bigl(\cos t\bigr) +\int \ln\bigl(\cos t\bigr)\,dt.

Passo 5

Fica faltando \displaystyle \int \ln(\cos t)\,dt.
Uma forma elegante de escrever esse integral é em termos da função de Clausen \mathrm{Cl}_{2}, definida por
\mathrm{Cl}_{2}(\theta) =-\int_{0}^{\theta}\ln\bigl|2\sin(u/2)\bigr|\,du.
Usa-se então a identidade (pode ser consultada em tabelas de integrais avançadas)
\int \ln\bigl(\cos t\bigr)\,dt =\frac12\,\mathrm{Cl}_{2}\bigl(\pi-2t\bigr)-t\ln2+C.
Como t=\arcsin x, temos também \cos t=\sqrt{1-x^2}. Além disso, \mathrm{Cl}_{2}(\pi-2t)=\mathrm{Cl}_{2}(2t). Substituindo de volta:
I =-\,t\ln\bigl(\cos t\bigr) +\frac12\,\mathrm{Cl}_{2}\bigl(\pi-2t\bigr) +C =-\,\arcsin(x)\,\ln\!\bigl(\sqrt{1-x^2}\bigr) +\frac12\,\mathrm{Cl}_{2}\!\bigl(2\arcsin(x)\bigr) +C.
Como \ln(\sqrt{1-x^2})=\tfrac12\ln(1-x^2), chega-mos a
I =-\frac12\arcsin(x)\,\ln\bigl(1-x^2\bigr) +\frac12\,\mathrm{Cl}_{2}\!\bigl(2\arcsin(x)\bigr) +C.

Resposta

\boxed{ \int \frac{x\arcsin x}{\sqrt{\bigl(1-x^{2}\bigr)^{2}}}\,dx =-\frac12\,\arcsin(x)\,\ln\bigl(1-x^2\bigr) +\frac12\,\mathrm{Cl}_{2}\!\bigl(2\arcsin(x)\bigr) + C. }

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