Calcule as seguintes integrais:
a) \int \cos 5 x d x.
b) \int x^{2} \operatorname{sen} x^{3} d x
c) \int_{-1}^{1} x e^{x^{2}} d x.
d) \int(1+\operatorname{sen} x)^{2} \cos x d x.
e) \int x^{2}\left(1-x^{3}\right)^{5} d x.
f) \int_{0}^{-1} t \sqrt{1+3 t^{2}} d t.

Passo 1

O enunciado pede para calcular seis integrais, sendo quatro indefinidas (a, b, d, e), uma indefinida mas com simetria que zera (c) e uma definida com mudança de variável (f). Vamos usar as técnicas de substituição simples, simetria de funções ímpares e ajuste de limites.

Passo 2

Para a) \int \cos 5x\,dx fazemos u=5x, de modo que du=5\,dx ou dx=\frac{du}{5}. Assim
\int \cos 5x\,dx = \int \cos u\;\frac{du}{5} = \frac{1}{5}\int \cos u\,du = \frac{1}{5}\sin u + C = \frac{1}{5}\sin(5x)+C.

Passo 3

Para b) \int x^{2}\,\sin x^{3}\,dx tomamos u=x^{3}, logo du=3x^{2}\,dx ou x^{2}\,dx=\frac{du}{3}. Então
\int x^{2}\sin x^{3}\,dx = \int \sin u\;\frac{du}{3} = -\frac{1}{3}\cos u + C = -\frac{1}{3}\cos(x^{3})+C.

Passo 4

Para c) \displaystyle \int_{-1}^{1}x\,e^{x^{2}}\,dx, note que x é função ímpar e e^{x^{2}} é par, então o produto é ímpar. A integral de uma função ímpar em [-a,a] vale zero. Logo
\int_{-1}^{1}x\,e^{x^{2}}\,dx = 0.

Passo 5

Para d) \int(1+\sin x)^{2}\cos x\,dx usamos u=1+\sin x, daí du=\cos x\,dx. Logo
\int (1+\sin x)^{2}\cos x\,dx = \int u^{2}\,du = \frac{u^{3}}{3}+C = \frac{(1+\sin x)^{3}}{3}+C.

Passo 6

Para e) \int x^{2}(1-x^{3})^{5}\,dx fazemos u=1-x^{3}, assim du=-3x^{2}\,dx ou x^{2}\,dx=-\tfrac{du}{3}. Então
\int x^{2}(1-x^{3})^{5}\,dx = \int u^{5}\Bigl(-\frac{du}{3}\Bigr) = -\frac{1}{3}\int u^{5}\,du = -\frac{1}{3}\cdot\frac{u^{6}}{6}+C = -\frac{(1-x^{3})^{6}}{18}+C.

Passo 7

Para f) \displaystyle \int_{0}^{-1}t\sqrt{1+3t^{2}}\,dt tomamos u=1+3t^{2}, então du=6t\,dt ou t\,dt=\tfrac{du}{6}. A integral torna-se
\int_{0}^{-1}t\sqrt{1+3t^{2}}\,dt = \int_{u(0)=1}^{u(-1)=4}\sqrt{u}\;\frac{du}{6} = \frac{1}{6}\int_{1}^{4}u^{\tfrac12}du = \frac{1}{6}\cdot\frac{2}{3}\Bigl[u^{\tfrac{3}{2}}\Bigr]_{1}^{4} = \frac{1}{9}\Bigl(4^{\tfrac{3}{2}}-1^{\tfrac{3}{2}}\Bigr) = \frac{1}{9}(8-1) = \frac{7}{9}.

Resposta

a) \displaystyle \int \cos 5x\,dx = \frac{1}{5}\sin(5x)+C.
b) \displaystyle \int x^{2}\sin x^{3}\,dx = -\frac{1}{3}\cos(x^{3})+C.
c) \displaystyle \int_{-1}^{1}x\,e^{x^{2}}\,dx = 0.
d) \displaystyle \int(1+\sin x)^{2}\cos x\,dx = \frac{(1+\sin x)^{3}}{3}+C.
e) \displaystyle \int x^{2}(1-x^{3})^{5}\,dx = -\frac{(1-x^{3})^{6}}{18}+C.
f) \displaystyle \int_{0}^{-1}t\sqrt{1+3t^{2}}\,dt = \frac{7}{9}.

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