Use as seguintes fórmulas dadas para calcular as integrais a seguir.
\int \frac{1}{a^{2}+x^{2}} d x=\frac{1}{a} \operatorname{arctg} \frac{x}{a}+C.
\int \frac{1}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}} d x=\operatorname{arcsen} \frac{x}{a}+C,|x|<a.
\int \frac{1}{x \sqrt{x^{2}-a^{2}}} d x=\frac{1}{a} \operatorname{arcsec}\left|\frac{x}{a}\right|+C,|x|>a.
a) \int \frac{1}{1+4 x^{2}} d x.
b) \int_{0}^{2} \frac{1}{x^{2}+4} d x.
c) \int \frac{x^{2}}{1+x^{6}} d x.
d) \int \frac{e^{x}}{\sqrt{1-e^{2 x}}} d x.
e) \int \frac{\cos x}{\sqrt{4-\operatorname{sen}^{2} x}} d x.
f) \int \frac{1}{e^{x} \sqrt{1-e^{-2 x}}} d x.
g) \int \frac{1}{\sqrt{e^{2 x}-1}} d x.
h) \int_{\frac{4 \sqrt{3}}{3}}^{4} \frac{1}{x \sqrt{x^{2}-4}} d x.
Passo 1
O enunciado pede para calcular várias integrais usando as fórmulas padrão para \displaystyle\int\frac{1}{a^{2}+x^{2}}dx, \displaystyle\int\frac{1}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}dx e \displaystyle\int\frac{1}{x\sqrt{x^{2}-a^{2}}}dx.
Vamos usar substituições simples para reduzir cada caso a uma dessas formas.
Passo 2
a) Para \displaystyle\int\frac{1}{1+4x^{2}}dx escrevemos 1+4x^{2}=1+(2x)^{2}. Fazer u=2x leva a du=2\,dx, ou dx=\tfrac{du}{2}, então
b) Para \displaystyle\int_{0}^{2}\frac{1}{x^{2}+4}dx usamos o mesmo primitivo com 4=2^{2}: \displaystyle F(x)=\frac{1}{2}\arctan\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr).
Logo
f) Para \displaystyle\int\frac{1}{e^{x}\sqrt{1-e^{-2x}}}dx escreva \frac{1}{e^{x}}dx=e^{-x}dx e note que \sqrt{1-e^{-2x}} fica com u=e^{-x}, du=-e^{-x}dx. Assim
h) Para \displaystyle\int_{\frac{4\sqrt{3}}{3}}^{4}\frac{1}{x\sqrt{x^{2}-4}}dx usamos a fórmula \displaystyle\int\frac{dx}{x\sqrt{x^{2}-a^{2}}}=\frac{1}{a}\arcsec\!\bigl|\tfrac{x}{a}\bigr|+C com a=2. O primitivo é \displaystyle \frac{1}{2}\arcsec\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr). Avaliando: