\int \frac{3 x-1}{x^{2}-x} d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{3x - 1}{x^{2} - x}\,dx.
O conteúdo é integração de função racional e vamos usar decomposição em frações parciais: fatoramos o denominador e escrevemos o integrando como soma de termos simples.

Passo 2

Primeiro fatoramos o denominador:
x^{2}-x = x(x-1).
Então buscamos constantes A\) e \(B\) tais que \[\frac{3x - 1}{x(x-1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1}.
Isso equivale a
3x - 1 = A(x-1) + Bx = (A + B)\,x - A.
Comparando coeficientes, temos
\begin{cases} A + B = 3,\\\\ -\,A = -1, \end{cases}
logo A = 1\] e \(B = 2.

Passo 3

Substituindo na integral,
\int \frac{3x - 1}{x^{2} - x}\,dx = \int \Bigl(\frac{1}{x} + \frac{2}{x-1}\Bigr)\,dx = \int \frac{1}{x}\,dx + 2 \int \frac{1}{x-1}\,dx.
Essas são integrais elementares de logaritmo.

Passo 4

Calculando cada termo,
\int \frac{1}{x}\,dx = \ln\lvert x\rvert, \quad \int \frac{1}{x-1}\,dx = \ln\lvert x-1\rvert.
Portanto a primitiva geral é
\ln\lvert x\rvert + 2\,\ln\lvert x-1\rvert + C.

Resposta

\displaystyle \ln\lvert x\rvert + 2\ln\lvert x-1\rvert + C

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