Use o Teorema Fundamental do Cálculo para mostrar que a função
admite uma primitiva, digamos
, tal que
. Por que podemos afirmar que a função
é crescente em todo seu domínio?
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede para mostrar que ela admite uma primitiva
com
usando o Teorema Fundamental do Cálculo. Além disso, precisamos justificar por que
é crescente em todo o seu domínio.
Passo 2
Note que
é contínua em
e a função exponencial é contínua em
, logo a composição
é contínua em
. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo (parte 2), podemos definir
Essa função
é diferenciável e satisfaz
ou seja,
é uma primitiva de
.
Passo 3
Pela própria definição de integral, quando
temos
como exigido no enunciado.
Passo 4
Observe que para todo
vale
pois a função exponencial nunca zera nem fica negativa. Daí
em todo
. Pelo critério de monotonicidade (derivada positiva implica função estritamente crescente), concluímos que
é crescente em todo o seu domínio.
Resposta
Podemos tomar
que satisfaz
e, como
,
é crescente em todo
.