Use o Teorema Fundamental do Cálculo para mostrar que a função f(x)=e^{\operatorname{sen} x} admite uma primitiva, digamos F(x), tal que F(0)=0. Por que podemos afirmar que a função F(x) é crescente em todo seu domínio?

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=e^{\sin x}
e pede para mostrar que ela admite uma primitiva F com F(0)=0 usando o Teorema Fundamental do Cálculo. Além disso, precisamos justificar por que F é crescente em todo o seu domínio.

Passo 2

Note que \sin x é contínua em \mathbb{R} e a função exponencial é contínua em \mathbb{R}, logo a composição
f(x)=e^{\sin x}
é contínua em \mathbb{R}. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo (parte 2), podemos definir
F(x)=\int_{0}^{x}e^{\sin t}\,dt.
Essa função F é diferenciável e satisfaz
F'(x)=e^{\sin x}=f(x),
ou seja, F é uma primitiva de f.

Passo 3

Pela própria definição de integral, quando x=0 temos
F(0)=\int_{0}^{0}e^{\sin t}\,dt=0,
como exigido no enunciado.

Passo 4

Observe que para todo x\in\mathbb{R} vale
e^{\sin x}>0,
pois a função exponencial nunca zera nem fica negativa. Daí F'(x)>0 em todo \mathbb{R}. Pelo critério de monotonicidade (derivada positiva implica função estritamente crescente), concluímos que F é crescente em todo o seu domínio.

Resposta

Podemos tomar
F(x)=\int_{0}^{x}e^{\sin t}\,dt,
que satisfaz F(0)=0 e, como F'(x)=e^{\sin x}>0, F é crescente em todo \mathbb{R}.

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