Use o Teorema Fundamental do Cálculo para calcular as seguintes integrais definidas:
\int_{1}^{e^{2}} \frac{1}{x} d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{1}^{e^{2}}\frac{1}{x}\,dx.
O conteúdo aqui é o Teorema Fundamental do Cálculo (parte 2), que afirma que, se F é uma primitiva de f, então
\int_{a}^{b}f(x)\,dx = F(b) - F(a).
Para resolver, precisamos achar uma primitiva de f(x)=\tfrac{1}{x}.

Passo 2

Uma primitiva de \tfrac{1}{x} é
F(x)=\ln\lvert x\rvert,
pois
\frac{d}{dx}\ln\lvert x\rvert = \frac{1}{x}.

Passo 3

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo, temos
\int_{1}^{e^{2}}\frac{1}{x}\,dx = F(e^{2}) - F(1) = \ln\lvert e^{2}\rvert - \ln\lvert 1\rvert = 2 - 0 = 2.

Resposta

2

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