Com isso, calcule as seguintes integrais.
\int \cos (4 x) \cdot \cos (5 x) d x

Passo 1

O enunciado pede claramente: calcular a integral indefinida
\int \cos(4x)\cdot\cos(5x)\,dx.
Informações dadas:
\text{integrando: }\cos(4x)\cos(5x),\qquad\text{variável de integração: }x.áçã
A resposta deve ser uma primitiva (ou família de primitivas) dessa função, ou seja, uma função F(x) tal que F'(x)=\cos(4x)\cos(5x), mais a constante de integração.

Passo 2

Vamos usar uma identidade trigonométrica que transforma produto de cossenos em soma de cossenos — isso facilita integrar termo a termo. A identidade é
\cos A\cos B=\tfrac{1}{2}\big(\cos(A-B)+\cos(A+B)\big).
Breve justificativa dessa identidade (útil para a prova): partimos das fórmulas de adição para cosseno,
\cos(A+B)=\cos A\cos B-\sin A\sin B,
\cos(A-B)=\cos A\cos B+\sin A\sin B.
Somando essas duas expressões obtemos
\cos(A+B)+\cos(A-B)=2\cos A\cos B,
e isolando \cos A\cos B dá exatamente a identidade acima. Aqui A e B são ângulos quaisquer; no nosso problema vamos escolher A=4x e B=5x.

Passo 3

Aplicando a identidade com A=4x e B=5x temos
\cos(4x)\cos(5x)=\tfrac{1}{2}\big(\cos(4x-5x)+\cos(4x+5x)\big).
Calcule os argumentos:
4x-5x=-x,\qquad 4x+5x=9x.
E como \cos(-x)=\cos x, obtemos
\cos(4x)\cos(5x)=\tfrac{1}{2}\big(\cos x+\cos 9x\big).

Passo 4

Agora integrando termo a termo:
\int \cos(4x)\cos(5x)\,dx=\int \tfrac{1}{2}\big(\cos x+\cos 9x\big)\,dx =\tfrac{1}{2}\int \cos x\,dx+\tfrac{1}{2}\int \cos 9x\,dx.
Lembrete/mini-aula: a integral de \cos(kx) em relação a x (onde k é uma constante) é
\int \cos(kx)\,dx=\tfrac{1}{k}\sin(kx)+C,
porque se fizermos a substituição u=kx então du=k\,dx e dx=\tfrac{1}{k}du, levando a \int\cos u\cdot\tfrac{1}{k}du=\tfrac{1}{k}\sin u.
Aplicando isso aos dois termos:
\tfrac{1}{2}\int \cos x\,dx=\tfrac{1}{2}\sin x,
\tfrac{1}{2}\int \cos 9x\,dx=\tfrac{1}{2}\cdot \tfrac{1}{9}\sin 9x=\tfrac{1}{18}\sin 9x.

Passo 5

Somando os resultados e lembrando da constante de integração C, a primitiva geral é
\tfrac{1}{2}\sin x+\tfrac{1}{18}\sin 9x + C.
Opcionalmente podemos juntar em uma fração comum, mas a forma acima já é limpa e direta para você lembrar na prova.

Resposta

\frac{1}{2}\sin x+\frac{1}{18}\sin 9x + C

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