Com isso, calcule as seguintes integrais.
Passo 1
O enunciado pede claramente: calcular a integral indefinida
Informações dadas:
A resposta deve ser uma primitiva (ou família de primitivas) dessa função, ou seja, uma função
tal que
, mais a constante de integração.
Passo 2
Vamos usar uma identidade trigonométrica que transforma produto de cossenos em soma de cossenos — isso facilita integrar termo a termo. A identidade é
Breve justificativa dessa identidade (útil para a prova): partimos das fórmulas de adição para cosseno,
Somando essas duas expressões obtemos
e isolando
dá exatamente a identidade acima. Aqui
e
são ângulos quaisquer; no nosso problema vamos escolher
e
.
Passo 3
Aplicando a identidade com
e
temos
Calcule os argumentos:
E como
, obtemos
Passo 4
Agora integrando termo a termo:
Lembrete/mini-aula: a integral de
em relação a
(onde
é uma constante) é
porque se fizermos a substituição
então
e
, levando a
.
Aplicando isso aos dois termos:
Passo 5
Somando os resultados e lembrando da constante de integração
, a primitiva geral é
Opcionalmente podemos juntar em uma fração comum, mas a forma acima já é limpa e direta para você lembrar na prova.