Calcule as seguintes integrais.
\int \cos (x) \cos (5 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \cos(x)\cos(5x)\,dx.
Este é um caso de integração de produto de funções trigonométricas; vamos usar a identidade produto-para-soma.

Passo 2

A identidade produto-para-soma para cossenos é
\cos(\alpha)\cos(\beta) \;=\;\tfrac12\bigl(\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)\bigr).
Aqui tomamos \alpha = x e \beta = 5x, então
\cos(x)\cos(5x) \;=\;\tfrac12\bigl(\cos(6x)+\cos(-4x)\bigr) \;=\;\tfrac12\bigl(\cos(6x)+\cos(4x)\bigr),
pois \cos é função par.

Passo 3

Substituindo no integrando, obtemos
\int \cos(x)\cos(5x)\,dx =\int \tfrac12\bigl(\cos(6x)+\cos(4x)\bigr)\,dx =\tfrac12\int \cos(6x)\,dx \;+\;\tfrac12\int \cos(4x)\,dx.

Passo 4

Integramos termo a termo usando \int \cos(kx)\,dx = \tfrac1k\sin(kx):
\tfrac12\int \cos(6x)\,dx = \tfrac12\cdot\tfrac1{6}\sin(6x) = \tfrac1{12}\sin(6x),
\tfrac12\int \cos(4x)\,dx = \tfrac12\cdot\tfrac1{4}\sin(4x) = \tfrac1{8}\sin(4x).

Resposta

\int \cos(x)\cos(5x)\,dx = \tfrac1{12}\sin(6x) + \tfrac1{8}\sin(4x) + C.

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