Calcule as seguintes integrais:
7. \int \frac{8 x-5}{(2 x-1)(x-1)} d x.

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int \frac{8x-5}{(2x-1)(x-1)}\,dx.
O conteúdo aqui é decomposição em frações parciais para depois usar a regra \displaystyle \int \frac{du}{u} = \ln|u| + C.

Passo 2

Proponho a decomposição
\frac{8x-5}{(2x-1)(x-1)} = \frac{A}{2x-1} + \frac{B}{x-1}.
Multiplicando ambos os lados por (2x-1)(x-1), obtemos
8x-5 = A(x-1) + B(2x-1).

Passo 3

Expandindo o lado direito:
A(x-1) + B(2x-1) = Ax - A + 2Bx - B = (A+2B)x + (-A - B).
Igualando coeficientes a 8x - 5\), vem o sistema \[\begin{cases} A + 2B = 8,\\\\ -A - B = -5. \end{cases}
Da segunda equação temos A+B=5\]. Subtraindo de \(A+2B=8 B=3 e, logo, A=2.

Passo 4

Substituindo na integral, fica
\int \frac{8x-5}{(2x-1)(x-1)}\,dx = \int \Bigl(\frac{2}{2x-1} + \frac{3}{x-1}\Bigr)\,dx.

Passo 5

Integramos cada parcela separadamente:
Para \displaystyle \int \frac{2}{2x-1}\,dx, faça u=2x-1, du=2\,dx, logo
\int \frac{2}{2x-1}\,dx = \int \frac{1}{u}\,du = \ln|u| = \ln|2x-1|.
Para \displaystyle \int \frac{3}{x-1}\,dx, basta
\int \frac{3}{x-1}\,dx = 3\ln|x-1|.

Resposta

\int \frac{8x-5}{(2x-1)(x-1)}\,dx = \ln\lvert 2x-1\rvert + 3\ln\lvert x-1\rvert + C.

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