\text { Calcule o divergente do campo vetorial } \vec{F}(x, y, z)=\left(y^{2} \operatorname{sen}(x y), x^{2} \ln (x y), \operatorname{tang}(x y z)\right) \text {. }

Passo 1

O enunciado pede para calcular o divergente do campo vetorial
\vec{F}(x,y,z)=\bigl(y^{2}\sin(xy),\;x^{2}\ln(xy),\;\tan(xyz)\bigr).
Estamos na matéria de cálculo vetorial e vamos usar definição de divergente e regras de derivação (regra do produto, cadeia, derivada de \sin, \ln e \tan).

Passo 2

Calculamos a derivada parcial de F_{1}(x,y,z)=y^{2}\sin(xy) em relação a x. Aqui y é constante, aplicando regra da cadeia:
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(y^{2}\sin(xy)\bigr) = y^{2}\cos(xy)\cdot\frac{\partial}{\partial x}(xy) = y^{2}\cos(xy)\cdot y = y^{3}\cos(xy).

Passo 3

Agora a derivada parcial de F_{2}(x,y,z)=x^{2}\ln(xy) em relação a y. x é constante, então
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}\ln(xy)\bigr) = x^{2}\cdot\frac{1}{xy}\cdot x = x^{2}\cdot\frac{x}{xy} = \frac{x^{2}}{y}.

Passo 4

Por fim a derivada parcial de F_{3}(x,y,z)=\tan(xyz) em relação a z. Aplicando cadeia:
\frac{\partial}{\partial z}\bigl(\tan(xyz)\bigr) = \operatorname{sec}^{2}(xyz)\cdot\frac{\partial}{\partial z}(xyz) = \operatorname{sec}^{2}(xyz)\cdot (xy) = xy\,\operatorname{sec}^{2}(xyz).

Passo 5

O divergente é a soma das três derivadas parciais:
\nabla\cdot\vec F = \frac{\partial F_{1}}{\partial x} + \frac{\partial F_{2}}{\partial y} + \frac{\partial F_{3}}{\partial z} = y^{3}\cos(xy) + \frac{x^{2}}{y} + xy\,\operatorname{sec}^{2}(xyz).

Resposta

\nabla\cdot\vec F = y^{3}\cos(xy) + \frac{x^{2}}{y} + xy\,\operatorname{sec}^{2}(xyz).

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