Calcule as seguintes integrais:
\int \frac{1}{4 \operatorname{sec} (x)} d x

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral
\int \frac{1}{4\operatorname{sec}(x)}\,dx.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A integranda é \dfrac{1}{4\operatorname{sec}(x)}.
  • Há uma constante multiplicativa 4 no denominador.
  • A função trigonométrica presente é \operatorname{sec}(x).

Passo 2

Usar a identidade trigonométrica básica que define a secante. Por definição,
\operatorname{sec}(x)=\frac{1}{\cos(x)}.
Portanto 1/\operatorname{sec}(x)=\cos(x). Aplicando isso à integranda:
\frac{1}{4\operatorname{sec}(x)}=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{\operatorname{sec}(x)}=\frac{1}{4}\cos(x).

Passo 3

Aplicar a propriedade de linearidade da integral: uma constante pode sair da integral. Para qualquer constante a e função f(x) vale
\int a\,f(x)\,dx = a\int f(x)\,dx.
Assim,
\int \frac{1}{4}\cos(x)\,dx = \frac{1}{4}\int \cos(x)\,dx.

Passo 4

Lembrar qual é a primitiva (antiderivada) de \cos(x). Sabemos que a derivada de \sin(x) é \cos(x):
\frac{d}{dx}\sin(x)=\cos(x).
Logo uma primitiva de \cos(x) é \sin(x). Portanto
\int \cos(x)\,dx = \sin(x)+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Combinar os resultados das etapas anteriores:
\frac{1}{4}\int \cos(x)\,dx = \frac{1}{4}\bigl(\sin(x)+C\bigr)=\frac{1}{4}\sin(x)+C',
onde C' é outra constante arbitrária (pode absorver \tfrac{1}{4}C).

Passo 6

Verificação rápida (mental, útil na prova): derivando \dfrac{1}{4}\sin(x)+C' obtém-se \dfrac{1}{4}\cos(x), que é igual a \dfrac{1}{4\operatorname{sec}(x)} após usar 1/\operatorname{sec}(x)=\cos(x). Está consistente.

Resposta

\dfrac{1}{4}\sin(x)+C

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