Calcule as seguintes integrais:
\int_{1}^{2} \frac{\left(x^{2}-1\right)^{2}}{x^{2}} d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{1}^{2} \frac{\left(x^{2}-1\right)^{2}}{x^{2}}\,dx.
Informações fornecidas:
  • Os limites de integração são 1 e 2.
  • A função a integrar é \frac{\left(x^{2}-1\right)^{2}}{x^{2}}.
  • Queremos o valor numérico da integral definida.

Passo 2

Primeiro passo prático: simplificar a expressão algébrica do integrando para facilitar a integração. Vamos expandir o quadrado no numerador:
\left(x^{2}-1\right)^{2} = x^{4} - 2x^{2} + 1.
Expliquei isso porque (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}; aqui a=x^{2} e b=1.

Passo 3

Agora dividimos o polinômio obtido por x^{2} (que é o denominador), termo a termo:
\frac{x^{4}-2x^{2}+1}{x^{2}} = x^{2} - 2 + x^{-2}.
Observe que x^{-2} é a mesma coisa que \frac{1}{x^{2}}. Essa forma é conveniente porque cada termo é uma potência de x, e sabemos integrar potências.

Passo 4

Usamos a linearidade da integral: a integral da soma é a soma das integrais, e constantes saem da integral. Assim
\int_{1}^{2} \frac{\left(x^{2}-1\right)^{2}}{x^{2}}\,dx = \int_{1}^{2} \left(x^{2}-2+x^{-2}\right)\,dx = \int_{1}^{2} x^{2}\,dx - 2\int_{1}^{2} 1\,dx + \int_{1}^{2} x^{-2}\,dx.
Agora aplicamos a regra de potência para primitivas: para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.
Aplicando isso termo a termo:
  • Para x^{2}: \int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3}.
  • Para a constante 1: \int 1\,dx = x, então -2\int 1\,dx = -2x.
  • Para x^{-2}: aqui n=-2, então \int x^{-2}\,dx = \frac{x^{-1}}{-1} = -x^{-1}.
Portanto uma primitiva F(x) é
F(x)=\frac{x^{3}}{3}-2x - x^{-1}.
(Adicionamos uma constante de integração para primitiva indefinida, mas para integral definida ela se cancela.)

Passo 5

Aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo: a integral definida é F(2)-F(1). Calculamos F(2) e F(1) cuidadosamente.
Calcule F(2):
F(2)=\frac{2^{3}}{3}-2\cdot 2 - 2^{-1} = \frac{8}{3} - 4 - \frac{1}{2}.
Faço as contas por partes: \frac{8}{3}-4=\frac{8}{3}-\frac{12}{3}=-\frac{4}{3}. Então
F(2)=-\frac{4}{3}-\frac{1}{2} = -\frac{8}{6}-\frac{3}{6} = -\frac{11}{6}.
Calcule F(1):
F(1)=\frac{1^{3}}{3}-2\cdot 1 - 1^{-1} = \frac{1}{3}-2 -1.
Isso é \frac{1}{3}-3=\frac{1}{3}-\frac{9}{3}=-\frac{8}{3}.
Agora a integral:
\int_{1}^{2} \frac{\left(x^{2}-1\right)^{2}}{x^{2}}\,dx = F(2)-F(1) = -\frac{11}{6} - \left(-\frac{8}{3}\right).
Converter -\frac{8}{3} para sextos: -\frac{8}{3}=-\frac{16}{6}, então
-\frac{11}{6} - \left(-\frac{8}{3}\right) = -\frac{11}{6} + \frac{16}{6} = \frac{5}{6}.

Resposta

\frac{5}{6}

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