Calcule as seguintes integrais:
;
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações fornecidas:
- Os limites de integração são
e . - A função a integrar é
. - Queremos o valor numérico da integral definida.
Passo 2
Primeiro passo prático: simplificar a expressão algébrica do integrando para facilitar a integração. Vamos expandir o quadrado no numerador:
Expliquei isso porque
; aqui
e
.
Passo 3
Agora dividimos o polinômio obtido por
(que é o denominador), termo a termo:
Observe que
é a mesma coisa que
. Essa forma é conveniente porque cada termo é uma potência de
, e sabemos integrar potências.
Passo 4
Usamos a linearidade da integral: a integral da soma é a soma das integrais, e constantes saem da integral. Assim
Agora aplicamos a regra de potência para primitivas: para
,
Aplicando isso termo a termo:
- Para
: . - Para a constante
: , então . - Para
: aqui , então .
Portanto uma primitiva
é
(Adicionamos uma constante de integração para primitiva indefinida, mas para integral definida ela se cancela.)
Passo 5
Aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo: a integral definida é
. Calculamos
e
cuidadosamente.
Calcule
:
Faço as contas por partes:
. Então
Calcule
:
Isso é
.
Agora a integral:
Converter
para sextos:
, então