Sejam g e h funções deriváveis em um intervalo I e f contínua nos intervalos de extremos g(x) e h(x), para todo x \in I.
(a) Mostre que F(x)=\int_{g(x)}^{h(x)} f(t) d t é derivável em x \in I e
F^{\prime}(x)=f(h(x)) h^{\prime}(x)-f(g(x)) g^{\prime}(x)
(b) Calcule a derivada da função F(x)=\int_{\cos x}^{x^{2}} e^{-t^{2}} d t.

Passo 1

O enunciado dá duas funções g e h deriváveis em um intervalo I e uma função f contínua nos intervalos de extremos g(x) e h(x) para todo x\in I. Pede-se:
(a) Mostrar que a função
F(x)=\int_{g(x)}^{h(x)} f(t)\,dt
é derivável em x\in I e que
F'(x)=f(h(x))\,h'(x)-f(g(x))\,g'(x).
(b) Calcular a derivada de
F(x)=\int_{\cos x}^{x^{2}} e^{-t^{2}}\,dt.
Informações relevantes dadas:
  • g e h são deriváveis em I (logo contínuas e com derivadas g'(x) e h'(x)).
  • f é contínua em cada intervalo com extremos g(x) e h(x) (o que garante integrabilidade e possibilita usar o Teorema do Valor Médio para integrais).
    A partir daqui vou provar passo a passo a fórmula pedida e então aplicar ao item (b).

Passo 2

Lema útil (caso base que vamos usar): se u é diferenciável em x e f é contínua numa vizinhança de u(x), então a função
G(x)=\int_{a}^{u(x)} f(t)\,dt
é diferenciável em x e
G'(x)=f(u(x))\,u'(x).
Explicação e prova detalhada (passo a passo, sem pular nada):
  1. Escrevemos a diferença incremental de G quando x vai para x+h:
G(x+h)-G(x)=\int_{a}^{u(x+h)} f(t)\,dt-\int_{a}^{u(x)} f(t)\,dt=\int_{u(x)}^{u(x+h)} f(t)\,dt.
  1. Pela continuidade de f no intervalo entre u(x) e u(x+h) (garantida pelo enunciado localmente), aplicamos o Teorema do Valor Médio para integrais: existe c_h entre u(x) e u(x+h) tal que
\int_{u(x)}^{u(x+h)} f(t)\,dt = f(c_h)\,\big(u(x+h)-u(x)\big).
  1. Dividindo por h obtemos a diferença quociente
\frac{G(x+h)-G(x)}{h} = f(c_h)\,\frac{u(x+h)-u(x)}{h}.
  1. Quando h\to 0, temos c_h\to u(x) (porque c_h fica entre u(x) e u(x+h) e u é contínua), e como f é contínua segue f(c_h)\to f(u(x)). Por outro lado, \dfrac{u(x+h)-u(x)}{h}\to u'(x) porque u é diferenciável. Portanto, passando ao limite,
G'(x)=\lim_{h\to0}\frac{G(x+h)-G(x)}{h}=f(u(x))\,u'(x).
Isso prova o lema. Intuição rápida: a integral entre a e u(x) muda porque o ponto superior se desloca; o valor instantâneo da mudança é a altura f(u(x)) vezes a velocidade u'(x).

Passo 3

Aplicação do lema ao problema (parte (a)).
Observação: por linearidade da integral podemos escrever, para qualquer ponto fixo a,
F(x)=\int_{g(x)}^{h(x)} f(t)\,dt = \int_{a}^{h(x)} f(t)\,dt - \int_{a}^{g(x)} f(t)\,dt.
Defina
G_1(x)=\int_{a}^{h(x)} f(t)\,dt,\qquad G_2(x)=\int_{a}^{g(x)} f(t)\,dt.
Pelo lema do Passo 2, como h e g são diferenciáveis e f é contínua na vizinhança dos respectivos pontos, temos
G_1'(x)=f(h(x))\,h'(x),\qquad G_2'(x)=f(g(x))\,g'(x).
Como F=G_1-G_2, pela linearidade da derivada,
F'(x)=G_1'(x)-G_2'(x)=f(h(x))\,h'(x)-f(g(x))\,g'(x).
Comentário sobre sinais: se trocássemos os limites da integral, a expressão trocaria de sinal, e é exatamente por isso que o termo associado a g aparece com sinal negativo.

Passo 4

Recapitulação didática do resultado do item (a) (para fixar e poder usar na prova):
  • Regra prática: quando os limites da integral dependem de x, cada limite contribui com um termo do tipo f(\text{limite})\times (\text{derivada desse limite}).
  • O limite superior h(x) +f(h(x))h'(x).
  • O limite inferior g(x) -f(g(x))g'(x) (o sinal negativo vem do fato de que aumentar o limite inferior diminui a área).

Passo 5

Aplicação ao item (b). Temos a função
F(x)=\int_{\cos x}^{x^{2}} e^{-t^{2}}\,dt.
Identificamos f(t)=e^{-t^{2}}, h(x)=x^{2} e g(x)=\cos x.
  1. Verificação rápida das hipóteses: f(t)=e^{-t^{2}} é contínua em todo \mathbb{R}; h e g são diferenciáveis; logo as hipóteses do item (a) valem.
  2. Calcule f(h(x)) e h'(x):
f(h(x))=e^{-(x^{2})^{2}}=e^{-x^{4}},\qquad h'(x)=2x.
  1. Calcule f(g(x)) e g'(x):
f(g(x))=e^{-(\cos x)^{2}}=e^{-\cos^{2}x},\qquad g'(x)=-\sin x.
  1. Use a fórmula do Passo 3:
F'(x)=f(h(x))\,h'(x)-f(g(x))\,g'(x).
Substituindo os valores:
F'(x)=\big(e^{-x^{4}}\big)\cdot(2x)-\big(e^{-\cos^{2}x}\big)\cdot(-\sin x)=2x\,e^{-x^{4}}+\sin x\,e^{-\cos^{2}x}.

Resposta

F'(x)=f(h(x))\,h'(x)-f(g(x))\,g'(x)
F'(x)=2x\,e^{-x^{4}}+\sin x\,e^{-\cos^{2}x}

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