Sejam
e
funções deriváveis em um intervalo
e
contínua nos intervalos de extremos
e
, para todo
.
(a) Mostre que
é derivável em
e
(b) Calcule a derivada da função
.
(a) Mostre que
Passo 1
O enunciado dá duas funções
e
deriváveis em um intervalo
e uma função
contínua nos intervalos de extremos
e
para todo
. Pede-se:
(a) Mostrar que a função
(a) Mostrar que a função
é derivável em
e que
(b) Calcular a derivada de
Informações relevantes dadas:
-
e são deriváveis em (logo contínuas e com derivadas e ). -
é contínua em cada intervalo com extremos e (o que garante integrabilidade e possibilita usar o Teorema do Valor Médio para integrais).
A partir daqui vou provar passo a passo a fórmula pedida e então aplicar ao item (b).
Passo 2
Lema útil (caso base que vamos usar): se
é diferenciável em
e
é contínua numa vizinhança de
, então a função
é diferenciável em
e
Explicação e prova detalhada (passo a passo, sem pular nada):
- Escrevemos a diferença incremental de
quando vai para :
- Pela continuidade de
no intervalo entre e (garantida pelo enunciado localmente), aplicamos o Teorema do Valor Médio para integrais: existe entre e tal que
- Dividindo por
obtemos a diferença quociente
- Quando
, temos (porque fica entre e e é contínua), e como é contínua segue . Por outro lado, porque é diferenciável. Portanto, passando ao limite,
Isso prova o lema. Intuição rápida: a integral entre
e
muda porque o ponto superior se desloca; o valor instantâneo da mudança é a altura
vezes a velocidade
.
Passo 3
Aplicação do lema ao problema (parte (a)).
Observação: por linearidade da integral podemos escrever, para qualquer ponto fixo ,
Observação: por linearidade da integral podemos escrever, para qualquer ponto fixo
Defina
Pelo lema do Passo 2, como
e
são diferenciáveis e
é contínua na vizinhança dos respectivos pontos, temos
Como
, pela linearidade da derivada,
Comentário sobre sinais: se trocássemos os limites da integral, a expressão trocaria de sinal, e é exatamente por isso que o termo associado a
aparece com sinal negativo.
Passo 4
Recapitulação didática do resultado do item (a) (para fixar e poder usar na prova):
- Regra prática: quando os limites da integral dependem de
, cada limite contribui com um termo do tipo . - O limite superior
dá . - O limite inferior
dá (o sinal negativo vem do fato de que aumentar o limite inferior diminui a área).
Passo 5
Aplicação ao item (b). Temos a função
Identificamos
,
e
.
- Verificação rápida das hipóteses:
é contínua em todo ; e são diferenciáveis; logo as hipóteses do item (a) valem. - Calcule
e :
- Calcule
e :
- Use a fórmula do Passo 3:
Substituindo os valores: