Seja g uma função derivável em um intervalo I e f contínua nos intervalos de extremos a e g(x), para todo x \in I.
(a) Mostre que h(x)=\int_{a}^{g(x)} f(t) d t é derivável em x \in I e h^{\prime}(x)=f(g(x)) g^{\prime}(x).
(b) Calcule a derivada da função h(x)=\int_{0}^{x^{2}} e^{t^{2}} d t.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas claras.
  • Informações dadas:
    • g é uma função derivável em um intervalo I.
    • f é contínua nos intervalos cujos extremos são a e g(x), para todo x\in I. (Isto garante que integrais do tipo \int_a^{g(x)} f(t)\,dt estão bem definidas e que podemos usar o teorema fundamental do cálculo.)
    • Definiu-se h(x)=\int_{a}^{g(x)} f(t)\,dt.
  • Perguntas:
    (a) Mostrar que h é derivável em x\in I e provar que \;h'(x)=f(g(x))\,g'(x).
    (b) Calcular a derivada de h(x)=\int_{0}^{x^{2}} e^{t^{2}}\,dt.
A partir daqui vamos provar cuidadosamente (a) e então aplicar o resultado em (b).

Passo 2

Estratégia e ideias fundamentais que vamos usar (explicadas devagar):
  • Primeiro, é útil definir uma função auxiliar em variável u:
    F(u)=\int_{a}^{u} f(t)\,dt.
    Aqui u é uma variável qualquer; F é a função que associa a cada limite superior u o valor da integral de a até u.
  • O teorema fundamental do cálculo (na sua forma adequada): se f é contínua num ponto u, então a função definida por F(u)=\int_a^u f(t)\,dt é diferenciável em u e
    F'(u)=f(u).
    Vou demonstrar isso de maneira direta e simples, para você entender de verdade como aparece f(u).

Passo 3

Prova de que F é diferenciável e que F'(u)=f(u) (passo a passo):
  • Definição de derivada: queremos calcular F'(u)=\lim_{h\to 0}\frac{F(u+h)-F(u)}{h}.
  • Expresse a diferença de integrais: F(u+h)-F(u)=\int_{a}^{u+h} f(t)\,dt - \int_{a}^{u} f(t)\,dt = \int_{u}^{u+h} f(t)\,dt.Portanto \frac{F(u+h)-F(u)}{h}=\frac{1}{h}\int_{u}^{u+h} f(t)\,dt.
  • Agora use duas ideias simples sobre integrais e continuidade:
    • Como f é contínua em u, quando h\to 0 os valores f(t) para t entre u e u+h ficam próximos de f(u).
    • Uma forma rigorosa e curta de capturar isso é usar o teorema do valor médio para integrais: existe c entre u e u+h tal que \int_{u}^{u+h} f(t)\,dt = f\text{(c)}\,h.(Isto vale porque f é contínua no intervalo fechado entre u e u+h.)
    • Então \frac{1}{h}\int_{u}^{u+h} f(t)\,dt = f\text{(c)}.
    • Como h\to 0 o ponto c fica próximo de u, e pela continuidade de f temos f\text{(c)}\to f(u).
  • Assim o limite da diferença quociente existe e é igual a f(u): F'(u)=\lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\int_{u}^{u+h} f(t)\,dt = \lim_{h\to 0} f\text{(c)} = f(u).
Resultado: F é diferenciável e F'(u)=f(u). Entendeu por que a derivada da integral “pega” o integrando avaliado no limite superior? É a continuidade local do integrando que garante isso.

Passo 4

Aplicando isso ao problema original para provar (a):
  • Observação: nossa função original é h(x)=\int_{a}^{g(x)} f(t)\,dt. Usando a função auxiliar F definida no passo anterior, escrevemos h(x)=F(g(x)).Ou seja, h é a composição da função F (que já sabemos ser diferenciável) com g (que foi dada como derivável).
  • Agora aplicamos a regra da cadeia: se F é diferenciável em g(x) e g é diferenciável em x, então a composição h(x)=F(g(x)) é diferenciável em x e h'(x)=F'(g(x))\cdot g'(x).
  • Substituindo F'(u)=f(u) com u=g(x), obtemos h'(x)=f(g(x))\,g'(x).
  • Isso prova (a): h é derivável em x\in I e sua derivada é exatamente essa.
Comentário curto sobre as variáveis: aqui t é a variável de integração (inteiramente “apagada” depois de integrar), u foi a variável auxiliar para F, e x é a variável da função final h. Nada de bicho de sete cabeças: só composição e regra da cadeia.

Passo 5

Agora resolvemos (b) usando o resultado de (a):
  • No caso de (b) temos h(x)=\int_{0}^{x^{2}} e^{t^{2}}\,dt.Identificamos f(t)=e^{t^{2}}, a=0 e g(x)=x^{2}.
  • Verificações rápidas (para garantir hipóteses): f(t)=e^{t^{2}} é contínua para todo t\in\mathbb{R}, e g(x)=x^{2} é derivável em todo \mathbb{R}. Portanto as hipóteses de (a) valem e podemos usar a fórmula.

Passo 6

Cálculo explícito da derivada em (b):
  • Pela fórmula de (a), h'(x)=f(g(x))\,g'(x).
  • Substituindo f e g: f(g(x))=e^{(g(x))^{2}}=e^{(x^{2})^{2}}=e^{x^{4}},e g'(x)=(x^{2})' = 2x.
  • Portanto h'(x)=e^{x^{4}}\cdot 2x = 2x\,e^{x^{4}}.
Isso é tudo: derivada encontrada, forma simples.

Resposta

(a) h'(x)=f(g(x))\,g'(x).
(b) h'(x)=2x\,e^{x^{4}}.

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