Seja
uma função derivável em um intervalo
e
contínua nos intervalos de extremos
e
, para todo
.
(a) Mostre que
é derivável em
e
.
(b) Calcule a derivada da função
.
(a) Mostre que
(b) Calcule a derivada da função
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas claras.
-
Informações dadas:
-
é uma função derivável em um intervalo . -
é contínua nos intervalos cujos extremos são e , para todo . (Isto garante que integrais do tipo estão bem definidas e que podemos usar o teorema fundamental do cálculo.) - Definiu-se
.
-
-
Perguntas:
(a) Mostrar queé derivável em e provar que .
(b) Calcular a derivada de.
A partir daqui vamos provar cuidadosamente (a) e então aplicar o resultado em (b).
Passo 2
Estratégia e ideias fundamentais que vamos usar (explicadas devagar):
-
Primeiro, é útil definir uma função auxiliar em variável
: Aquié uma variável qualquer; é a função que associa a cada limite superior o valor da integral de até . -
O teorema fundamental do cálculo (na sua forma adequada): se
é contínua num ponto , então a função definida por é diferenciável em e Vou demonstrar isso de maneira direta e simples, para você entender de verdade como aparece.
Passo 3
Prova de que
é diferenciável e que
(passo a passo):
- Definição de derivada: queremos calcular
- Expresse a diferença de integrais:
Portanto - Agora use duas ideias simples sobre integrais e continuidade:
- Como
é contínua em , quando os valores para entre e ficam próximos de . - Uma forma rigorosa e curta de capturar isso é usar o teorema do valor médio para integrais: existe
entre e tal que (Isto vale porque é contínua no intervalo fechado entre e .) - Então
- Como
o ponto fica próximo de , e pela continuidade de temos .
- Como
- Assim o limite da diferença quociente existe e é igual a
:
Resultado:
é diferenciável e
. Entendeu por que a derivada da integral “pega” o integrando avaliado no limite superior? É a continuidade local do integrando que garante isso.
Passo 4
Aplicando isso ao problema original para provar (a):
- Observação: nossa função original é
. Usando a função auxiliar definida no passo anterior, escrevemos Ou seja, é a composição da função (que já sabemos ser diferenciável) com (que foi dada como derivável). - Agora aplicamos a regra da cadeia: se
é diferenciável em e é diferenciável em , então a composição é diferenciável em e - Substituindo
com , obtemos - Isso prova (a):
é derivável em e sua derivada é exatamente essa.
Comentário curto sobre as variáveis: aqui
é a variável de integração (inteiramente “apagada” depois de integrar),
foi a variável auxiliar para
, e
é a variável da função final
. Nada de bicho de sete cabeças: só composição e regra da cadeia.
Passo 5
Agora resolvemos (b) usando o resultado de (a):
- No caso de (b) temos
Identificamos , e . - Verificações rápidas (para garantir hipóteses):
é contínua para todo , e é derivável em todo . Portanto as hipóteses de (a) valem e podemos usar a fórmula.
Passo 6
Cálculo explícito da derivada em (b):
- Pela fórmula de (a),
- Substituindo
e : e - Portanto
Isso é tudo: derivada encontrada, forma simples.
Resposta
(a)
.
(b)
.