Calcule as seguintes integrais.
\int \frac{\ln (x)}{x} \mathrm{~d} x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{\ln(x)}{x}\,\mathrm{d}x.
O conteúdo principal aqui é usar a técnica de substituição, aproveitando que a derivada de \ln(x) é 1/x.

Passo 2

Fazemos a substituição
t = \ln(x),
logo
\mathrm{d}t = \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x.
Esse passo transforma o integrando em termos de t.

Passo 3

Reescrevendo a integral em t, temos
\int \frac{\ln(x)}{x}\,\mathrm{d}x = \int t\,\mathrm{d}t.
Agora é uma integral polinomial simples.

Passo 4

Integramos \int t\,\mathrm{d}t. Pela regra de potência,
\int t\,\mathrm{d}t = \frac{t^2}{2} + C.

Passo 5

Voltando à variável original x, substituímos t = \ln(x), obtendo
\frac{(\ln(x))^2}{2} + C.

Resposta

\int \frac{\ln(x)}{x}\,\mathrm{d}x = \frac{(\ln(x))^2}{2} + C.

Exercícios relacionados