Calcule as seguintes integrais.
\int\left(\frac{3}{\sqrt{x}}-\frac{x \sqrt{x}}{4}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int\Bigl(\frac{3}{\sqrt{x}} - \frac{x\sqrt{x}}{4}\Bigr)\,dx.
Este é um caso de integração de potências de x. Vamos usar a regra
\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,
válida para n\neq -1.

Passo 2

Reescrevemos cada termo como potência de x:
\frac{3}{\sqrt{x}} = 3\,x^{-\tfrac12}, \qquad x\sqrt{x} = x\cdot x^{\tfrac12} = x^{\tfrac32}.
Logo a integral vira
\int\Bigl(3\,x^{-\tfrac12} - \tfrac14\,x^{\tfrac32}\Bigr)\,dx.

Passo 3

Integramos termo a termo:
\int 3\,x^{-\tfrac12}\,dx = 3\;\frac{x^{-\tfrac12+1}}{-\tfrac12+1} =3\;\frac{x^{\tfrac12}}{\tfrac12} =6\,x^{\tfrac12},
\int \tfrac14\,x^{\tfrac32}\,dx =\tfrac14\;\frac{x^{\tfrac32+1}}{\tfrac32+1} =\tfrac14\;\frac{x^{\tfrac52}}{\tfrac52} =\tfrac14\cdot \frac{2}{5}\,x^{\tfrac52} =\tfrac{1}{10}\,x^{\tfrac52}.
Como no integrando esse segundo termo aparece com sinal negativo, teremos
\int\Bigl(3\,x^{-\tfrac12} - \tfrac14\,x^{\tfrac32}\Bigr)\,dx =6\,x^{\tfrac12} - \tfrac{1}{10}\,x^{\tfrac52} + C.

Resposta

6\sqrt{x} \;-\;\frac{1}{10}\,x^{\tfrac52} + C.

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