Calcule as seguintes integrais.
\int \frac{\operatorname{arcsen} x}{x^{2}} d x. Sugestão. Faça \int \underline{1} d x=\int \underline{x} d x, quando necessário, e então z=\sqrt{1-x^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida da função
\int \frac{\arcsin(x)}{x^{2}}\,dx.
O conteúdo principal aqui é usar integração por partes para “baixar” a \arcsin(x) e depois resolver a integral remanescente com a sugestão de substituição z=\sqrt{1-x^{2}}.

Passo 2

Escolhemos em integração por partes
u = \arcsin(x), \quad dv = x^{-2}\,dx.
Então
du = \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx, \quad v = \int x^{-2}\,dx = -\frac{1}{x}.

Passo 3

Aplicando a fórmula
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du
temos
\int \frac{\arcsin(x)}{x^{2}}\,dx = -\frac{\arcsin(x)}{x} - \int \Bigl(-\frac{1}{x}\Bigr)\,\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx = -\frac{\arcsin(x)}{x} + \int \frac{1}{x\,\sqrt{1-x^{2}}}\,dx.

Passo 4

Focamos agora em
I = \int \frac{1}{x\,\sqrt{1-x^{2}}}\,dx.
Use a sugestão z=\sqrt{1-x^{2}}. Então
z = \sqrt{1-x^{2}} \;\Longrightarrow\; dz = -\frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx = -\frac{x}{z}\,dx \;\Longrightarrow\; dx = -\frac{z}{x}\,dz.
Em I substituímos:
I = \int \frac{1}{x\,z}\,\Bigl(-\frac{z}{x}\,dz\Bigr) = -\int \frac{dz}{x^{2}} = -\int \frac{dz}{1 - z^{2}},
pois x^{2} = 1 - z^{2}.

Passo 5

A integral
-\int \frac{dz}{1-z^{2}}
é padrão e vale
-\int \frac{dz}{1-z^{2}} = -\operatorname{arctanh}(z) + C = -\frac{1}{2}\ln\!\biggl(\frac{1+z}{1-z}\biggr) + C.

Passo 6

Voltando a x (lembre z=\sqrt{1-x^{2}}) e somando com o termo de partes, obtemos
\int \frac{\arcsin(x)}{x^{2}}\,dx = -\frac{\arcsin(x)}{x} - \frac{1}{2}\ln\!\biggl(\frac{1+\sqrt{1-x^{2}}}{1-\sqrt{1-x^{2}}}\biggr) + C.

Resposta

\int \frac{\arcsin(x)}{x^{2}}\,dx = -\frac{\arcsin(x)}{x} - \frac{1}{2}\ln\!\biggl(\frac{1+\sqrt{1-x^{2}}}{1-\sqrt{1-x^{2}}}\biggr) + C.

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