Calcule as seguintes integrais. \int \frac{\operatorname{arcsen} x}{x^{2}} d x. Sugestão. Faça \int \underline{1} d x=\int \underline{x} d x, quando necessário, e então z=\sqrt{1-x^{2}}.
Passo 1
O enunciado pede a integral indefinida da função
\int \frac{\arcsin(x)}{x^{2}}\,dx.
O conteúdo principal aqui é usar integração por partes para “baixar” a \arcsin(x) e depois resolver a integral remanescente com a sugestão de substituição z=\sqrt{1-x^{2}}.
Passo 2
Escolhemos em integração por partes
u = \arcsin(x), \quad dv = x^{-2}\,dx.
Então
du = \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx, \quad v = \int x^{-2}\,dx = -\frac{1}{x}.