Determinar se as sequências abaixo convergem ou divergem.
5-)\left(\frac{1}{1+n^{2}}\right)_{n \in N^{*}}

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da sequência
\left(\frac{1}{1+n^{2}}\right)_{n\in\mathbb{N}^{*}}.
Estamos no tema de análise de sequência numérica e vamos usar o conceito de limite de sequência e o Teorema da Convergência Monótona para mostrar que ela converge.

Passo 2

Observe que, para todo n\ge1, temos
0<\frac{1}{1+n^{2}}\le1,
portanto a sequência é limitada. Além disso, para passar de n a n+1 o denominador cresce 1+(n+1)^{2}>1+n^{2}, logo
\frac{1}{1+(n+1)^{2}}<\frac{1}{1+n^{2}},
ou seja, ela é estritamente decrescente. Pelo Teorema da Convergência Monótona (sequência limitada e monótona), concluímos que há limite finito.

Passo 3

Para encontrar o limite, note que o grau do polinômio no denominador é maior que no numerador. Assim,
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{1+n^{2}}=0.

Resposta

A sequência converge e
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{1+n^{2}}=0.

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