Determinar se as sequências abaixo convergem ou divergem.
Passo 1
O enunciado pede para verificar a convergência da sequência
Estamos no tema de análise de sequência numérica e vamos usar o conceito de limite de sequência e o Teorema da Convergência Monótona para mostrar que ela converge.
Passo 2
Observe que, para todo
, temos
portanto a sequência é limitada. Além disso, para passar de
a
o denominador cresce
, logo
ou seja, ela é estritamente decrescente. Pelo Teorema da Convergência Monótona (sequência limitada e monótona), concluímos que há limite finito.
Passo 3
Para encontrar o limite, note que o grau do polinômio no denominador é maior que no numerador. Assim,
Resposta
A sequência converge e