Determine se as operações binárias * sobre \mathbb{R}_{+}^{*} é associativa (comutativa) em cada um dos seguintes casos:
a * b=3 a b.

Passo 1

O enunciado dá uma operação binária * sobre o conjunto \mathbb{R}_{+}^{*} (os reais estritamente positivos) definida por
a * b = 3ab,
para quaisquer a,b\in\mathbb{R}_{+}^{*}. As perguntas são:
  1. A operação é comutativa? (isto é, vale a*b=b*a para todos a,b.)
  2. A operação é associativa? (isto é, vale (a*b)*c = a*(b*c) para todos a,b,c.)

Passo 2

Definição e verificação da comutatividade.
Definição: uma operação * é comutativa se, para todos a,b, temos
a*b = b*a.
Aplicando a definição da operação: para a,b\in\mathbb{R}_{+}^{*},
a*b = 3ab
e
b*a = 3ba.
Agora uso a propriedade elementar da multiplicação usual: para quaisquer números reais a e b temos ab = ba. Substituindo,
3ab = 3ba.
Portanto a*b = b*a para todos a,b.

Passo 3

Definição e verificação da associatividade.
Definição: uma operação * é associativa se, para todos a,b,c, vale
(a*b)*c = a*(b*c).
Vamos calcular cada lado separadamente, sempre usando a regra x*y = 3xy.
Cálculo do lado esquerdo:
a*b = 3ab,
então
(a*b)*c = 3\,(a*b)\,c = 3\,(3ab)\,c.
Agrupando os fatores (multiplicação usual é associativa e comutativa), obtemos
(a*b)*c = 3\cdot 3 \cdot a \cdot b \cdot c = 9abc.
Cálculo do lado direito:
b*c = 3bc,
então
a*(b*c) = 3\,a\,(b*c) = 3\,a\,(3bc).
Novamente agrupando,
a*(b*c) = 3\cdot 3 \cdot a \cdot b \cdot c = 9abc.
Comparando, ambos os lados são iguais a 9abc para quaisquer a,b,c\in\mathbb{R}_{+}^{*}, ou seja,
(a*b)*c = a*(b*c).

Passo 4

Comentário didático e exemplo numérico rápido.
  • O porquê: a operação é apenas a multiplicação usual multiplicada por uma constante 3. Como a multiplicação usual é comutativa e associativa, e a constante apenas escala o produto, as propriedades se mantêm. Na prática, para qualquer constante k a operação a*b = k\,a\,b também seria comutativa e associativa.
  • Exemplo numérico (para sentir na prática): tome a=2, b=5, c=4. Então
(a*b)*c = (3\cdot 2\cdot 5)*4 = (30)*4 = 3\cdot 30\cdot 4 = 360
e
a*(b*c) = 2*(3\cdot 5\cdot 4) = 2*(60) = 3\cdot 2\cdot 60 = 360,
confirma a igualdade.

Resposta

Associativa: Sim.
Comutativa: Sim.

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