Determine se as operações binárias * sobre
é associativa (comutativa) em cada um dos seguintes casos:
.
Passo 1
O enunciado dá uma operação binária
sobre o conjunto
(os reais estritamente positivos) definida por
para quaisquer
. As perguntas são:
- A operação é comutativa? (isto é, vale
para todos .) - A operação é associativa? (isto é, vale
para todos .)
Passo 2
Definição e verificação da comutatividade.
Definição: uma operação é comutativa se, para todos
, temos
Definição: uma operação
Aplicando a definição da operação: para
,
e
Agora uso a propriedade elementar da multiplicação usual: para quaisquer números reais
e
temos
. Substituindo,
Portanto
para todos
.
Passo 3
Definição e verificação da associatividade.
Definição: uma operação é associativa se, para todos
, vale
Definição: uma operação
Vamos calcular cada lado separadamente, sempre usando a regra
.
Cálculo do lado esquerdo:
então
Agrupando os fatores (multiplicação usual é associativa e comutativa), obtemos
Cálculo do lado direito:
então
Novamente agrupando,
Comparando, ambos os lados são iguais a
para quaisquer
, ou seja,
Passo 4
Comentário didático e exemplo numérico rápido.
- O porquê: a operação é apenas a multiplicação usual multiplicada por uma constante
. Como a multiplicação usual é comutativa e associativa, e a constante apenas escala o produto, as propriedades se mantêm. Na prática, para qualquer constante a operação também seria comutativa e associativa. - Exemplo numérico (para sentir na prática): tome
, , . Então
e
confirma a igualdade.
Resposta
Associativa: Sim.
Comutativa: Sim.
Comutativa: Sim.