Determine se as operações binárias * sobre \mathbb{R}_{+}^{*} é associativa (comutativa) em cada um dos seguintes casos:
a * b=a^{b}.

Passo 1

O enunciado define uma operação binária * em \mathbb{R}_{+}^{*} (os reais positivos) por
a * b = a^{b},
e pede para determinarmos se essa operação é associativa e se é comutativa.
Informações dadas: \;a,b,c\in\mathbb{R}_{+}^{*} e a definição acima.
Perguntas: (1) * é comutativa? (2) * é associativa?

Passo 2

Definição prática de comutatividade (o que vamos testar): * é comutativa se, para todo a,b\in\mathbb{R}_{+}^{*},
a * b = b * a.
Usando a definição da operação, isso equivale a testar se, para todo a,b>0,
a^{b} = b^{a}.
Agora explico a propriedade que vou usar: a exponenciação x^{y} é, em geral, diferente de y^{x} quando x\neq y. Não existe uma identidade que garanta x^{y}=y^{x} para todos x,y — acontece apenas em casos especiais (por exemplo x=y ou outros pares particulares).

Passo 3

Teste numérico simples (contraexemplo) para comutatividade: escolha a=2 e b=3. Então
a*b = 2^{3} = 8
e
b*a = 3^{2} = 9.
Como 8 \neq 9, obtemos um contraexemplo: há pares (a,b) para os quais a*b \neq b*a. Logo, a operação * NÃO é comutativa.
Observação didática: existem pares em que a^{b}=b^{a} (por exemplo a=b), mas a existência de um único contraexemplo já basta para concluir que a operação não é comutativa no conjunto todo.

Passo 4

Definição prática de associatividade (o que vamos testar): * é associativa se, para todo a,b,c\in\mathbb{R}_{+}^{*},
(a * b) * c = a * (b * c).
Vamos escrever cada lado usando a definição x*y=x^{y} e usar a regra da exponenciação (x^{y})^{z} = x^{y z}, que é válida para x>0 e y,z reais. Tenha em mente o que cada variável representa: a é a base inicial, b e c são expoentes em posições diferentes nas duas associações.

Passo 5

Calculemos o membro à esquerda:
(a * b) * c = (a^{b}) * c = (a^{b})^{c}.
Usando a regra (x^{y})^{z} = x^{y z}, isso vira
(a * b) * c = a^{b c}.

Passo 6

Calculemos o membro à direita:
a * (b * c) = a * (b^{c}) = a^{\,b^{c}}.
Note que a^{b c} e a^{\,b^{c}} são, em geral, diferentes: b c é o produto de b por c, enquanto b^{c} é b elevado a c. Não há uma identidade geral que faça b c = b^{c} para todos b,c>0.

Passo 7

Contraexemplo numérico para não associatividade: escolha a=2, b=2, c=3. Então
(a * b) * c = (2^{2})^{3} = 4^{3} = 64,
enquanto
a * (b * c) = 2^{\,2^{3}} = 2^{8} = 256.
Como 64 \neq 256, temos um contraexemplo mostrando que a operação * NÃO é associativa no conjunto todo \mathbb{R}_{+}^{*}.
Observação didática: existem escolhas especiais de a,b,c que fazem as duas expressões coincidir (por exemplo b=c=1 dá igualdade), mas a associatividade exige igualdade para todos os a,b,c, o que não acontece.

Resposta

Associativa: Não.
Comutativa: Não.

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