Determine se as operações binárias * sobre
é associativa (comutativa) em cada um dos seguintes casos:
.
Passo 1
O enunciado define uma operação binária
em
(os reais positivos) por
e pede para determinarmos se essa operação é associativa e se é comutativa.
Informações dadas: e a definição acima.
Perguntas: (1) é comutativa? (2)
é associativa?
Informações dadas:
Perguntas: (1)
Passo 2
Definição prática de comutatividade (o que vamos testar):
é comutativa se, para todo
,
Usando a definição da operação, isso equivale a testar se, para todo
,
Agora explico a propriedade que vou usar: a exponenciação
é, em geral, diferente de
quando
. Não existe uma identidade que garanta
para todos
— acontece apenas em casos especiais (por exemplo
ou outros pares particulares).
Passo 3
Teste numérico simples (contraexemplo) para comutatividade: escolha
e
. Então
e
Como
, obtemos um contraexemplo: há pares
para os quais
. Logo, a operação
NÃO é comutativa.
Observação didática: existem pares em que (por exemplo
), mas a existência de um único contraexemplo já basta para concluir que a operação não é comutativa no conjunto todo.
Observação didática: existem pares em que
Passo 4
Definição prática de associatividade (o que vamos testar):
é associativa se, para todo
,
Vamos escrever cada lado usando a definição
e usar a regra da exponenciação
, que é válida para
e
reais. Tenha em mente o que cada variável representa:
é a base inicial,
e
são expoentes em posições diferentes nas duas associações.
Passo 5
Calculemos o membro à esquerda:
Usando a regra
, isso vira
Passo 6
Calculemos o membro à direita:
Note que
e
são, em geral, diferentes:
é o produto de
por
, enquanto
é
elevado a
. Não há uma identidade geral que faça
para todos
.
Passo 7
Contraexemplo numérico para não associatividade: escolha
,
,
. Então
enquanto
Como
, temos um contraexemplo mostrando que a operação
NÃO é associativa no conjunto todo
.
Observação didática: existem escolhas especiais de que fazem as duas expressões coincidir (por exemplo
dá igualdade), mas a associatividade exige igualdade para todos os
, o que não acontece.
Observação didática: existem escolhas especiais de
Resposta
Associativa: Não.
Comutativa: Não.
Comutativa: Não.