Calcule as seguintes integrais:
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{2 e^{2 x}+\cos (x)}{e^{2 x}+\operatorname{sen}(x)} d x

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular a integral
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{2 e^{2x} + \cos(x)}{e^{2x} + \sin(x)} \,dx.
O conteúdo principal é reconhecer uma integral do tipo \int f'(x)/f(x)\,dx. Para resolver, vamos verificar se o numerador coincide com a derivada do denominador.

Passo 2

Calcule a derivada do denominador
\frac{d}{dx}\bigl(e^{2x} + \sin(x)\bigr) = 2e^{2x} + \cos(x).
Observamos que esse resultado é exatamente o numerador da integral.

Passo 3

Pelo resultado acima, podemos usar a fórmula
\int \frac{f'(x)}{f(x)}\,dx = \ln\bigl|f(x)\bigr| + C.
Assim,
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{2e^{2x} + \cos(x)}{e^{2x} + \sin(x)} \,dx = \left[\ln\bigl(e^{2x} + \sin(x)\bigr)\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}.

Passo 4

Avalie em x=\frac{\pi}{2} e em x=0:
em x=\frac{\pi}{2},
e^{2(\frac{\pi}{2})} + \sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) = e^{\pi} + 1;
em x=0,
e^{0} + \sin(0) = 1 + 0 = 1.
Logo,
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{2e^{2x} + \cos(x)}{e^{2x} + \sin(x)} \,dx = \ln\bigl(e^{\pi} + 1\bigr) - \ln(1) = \ln\bigl(e^{\pi} + 1\bigr).

Resposta

\ln\bigl(e^{\pi} + 1\bigr)

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