Calcule as seguintes integrais: \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{2 e^{2 x}+\cos (x)}{e^{2 x}+\operatorname{sen}(x)} d x Passo 1O enunciado nos pede para calcular a integral \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{2 e^{2x} + \cos(x)}{e^{2x} + \sin(x)} \,dx. O conteúdo principal é reconhecer uma integral do tipo \int f'(x)/f(x)\,dx. Para resolver, vamos verificar se o numerador coincide com a derivada do denominador. Passo 2Calcule a derivada do denominador \frac{d}{dx}\bigl(e^{2x} + \sin(x)\bigr) = 2e^{2x} + \cos(x). Observamos que esse resultado é exatamente o numerador da integral. Passo 3Pelo resultado acima, podemos usar a fórmula \int \frac{f'(x)}{f(x)}\,dx = \ln\bigl|f(x)\bigr| + C. Assim, \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{2e^{2x} + \cos(x)}{e^{2x} + \sin(x)} \,dx = \left[\ln\bigl(e^{2x} + \sin(x)\bigr)\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}. Passo 4Avalie em x=\frac{\pi}{2} e em x=0: em x=\frac{\pi}{2}, e^{2(\frac{\pi}{2})} + \sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) = e^{\pi} + 1; em x=0, e^{0} + \sin(0) = 1 + 0 = 1. Logo, \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{2e^{2x} + \cos(x)}{e^{2x} + \sin(x)} \,dx = \ln\bigl(e^{\pi} + 1\bigr) - \ln(1) = \ln\bigl(e^{\pi} + 1\bigr). Resposta \ln\bigl(e^{\pi} + 1\bigr) MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosNos problemas 1-18, resolva a equação diferencial dada. x^{2} y^{\prime \prime}+3 x y^{\prime}-4 y=0 Nos problemas 1-18, resolva a equação diferencial dada. x y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}=0 Calcule as seguintes integrais: \int_{0}^{4}\left|x^{2}-4 x+3\right| d x Calcule as seguintes integrais: \int_{0}^{1} e^{x} \operatorname{sen}\left(e^{x}\right) d x