Nos problemas 1-18, resolva a equação diferencial dada.
x^{2} y^{\prime \prime}+3 x y^{\prime}-4 y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
x^{2}y'' + 3x\,y' - 4y = 0.
Esse tipo de equação é do tipo Euler–Cauchy. Para resolvê-la, vamos usar a suposição típica y=x^{r}, que transforma a EDO numa equação algébrica para r.

Passo 2

Supondo
y = x^{r},
temos
y' = r\,x^{r-1}, \quad y'' = r(r-1)\,x^{r-2}.
Substituindo na EDO:
x^{2}\bigl(r(r-1)x^{r-2}\bigr) + 3x\bigl(r x^{r-1}\bigr) - 4x^{r} = 0
\Longrightarrow r(r-1)x^{r} + 3r\,x^{r} - 4x^{r} = 0.
Como x^{r}\neq0 (no domínio x>0 ou x<0), dividimos por x^{r} e obtemos a equação característica:
r(r-1) + 3r - 4 = 0.

Passo 3

Simplificando a equação característica:
r^{2} - r + 3r - 4 = r^{2} + 2r - 4 = 0.
As raízes são
r = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} = -1 \pm \sqrt{5}.

Passo 4

Como as duas raízes r_{1} = -1 + \sqrt{5} e r_{2} = -1 - \sqrt{5} são reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é
y(x) = C_{1}\,x^{r_{1}} + C_{2}\,x^{r_{2}} = C_{1}\,x^{-1+\sqrt{5}} + C_{2}\,x^{-1-\sqrt{5}},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x) = C_{1}\,x^{-1+\sqrt{5}} + C_{2}\,x^{-1-\sqrt{5}}.

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