Calcule as seguintes integrais:
\int_{0}^{1} e^{x} \operatorname{sen}\left(e^{x}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular
\int_{0}^{1} e^{x}\,\sin\bigl(e^{x}\bigr)\,dx.
Esse tipo de integral sugere usar uma substituição simples do tipo u = e^{x}.

Passo 2

Fazendo a substituição
u = e^{x},
temos
du = e^{x}\,dx,
ou seja, e^{x}\,dx = du.

Passo 3

Quando x=0, u=e^{0}=1.
Quando x=1, u=e^{1}=e.
Assim a integral vira
\int_{0}^{1} e^{x}\,\sin\bigl(e^{x}\bigr)\,dx =\int_{1}^{e}\sin(u)\,du.

Passo 4

Sabemos que
\int \sin(u)\,du = -\cos(u).
Logo
\int_{1}^{e}\sin(u)\,du =\bigl[-\cos(u)\bigr]_{1}^{e} =-\cos(e)-\bigl(-\cos(1)\bigr) =\cos(1)-\cos(e).

Resposta

\cos(1) - \cos(e)

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