Calcule as seguintes integrais:
\int_{0}^{4}\left|x^{2}-4 x+3\right| d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de
\int_{0}^{4}\bigl|x^{2}-4x+3\bigr|\,dx
Esse é um problema de valor absoluto de um polinômio quadrático. Para resolver, vamos:
  1. Encontrar as raízes de x^{2}-4x+3.
  2. Determinar o sinal do polinômio em cada subintervalo.
  3. Partir a integral nesses intervalos, trocando o sinal quando for preciso.
  4. Calcular a primitiva e avaliar.

Passo 2

As raízes de x^{2}-4x+3 vêm de
x^{2}-4x+3 = (x-1)(x-3)=0
logo \,x=1 e \,x=3. Em seguida, analisamos o sinal em cada trecho de [0,4]:
  • Para 0\le x<1, escolhemos x=0: 0^{2}-4\cdot0+3=3>0.
  • Para 1<x<3, escolhemos x=2: 4-8+3=-1<0.
  • Para 3<x\le4, escolhemos x=4: 16-16+3=3>0.

Passo 3

Com isso, escrevemos
\int_{0}^{4}\bigl|x^{2}-4x+3\bigr|\,dx =\int_{0}^{1}(x^{2}-4x+3)\,dx -\int_{1}^{3}(x^{2}-4x+3)\,dx +\int_{3}^{4}(x^{2}-4x+3)\,dx.

Passo 4

Vamos achar uma primitiva de x^{2}-4x+3. Uma antiderivada é
F(x)=\int\bigl(x^{2}-4x+3\bigr)\,dx =\frac{x^{3}}{3}-2x^{2}+3x.

Passo 5

Agora avaliamos cada termo:
  1. \displaystyle \int_{0}^{1}(x^{2}-4x+3)\,dx = F(1)-F(0) =\Bigl(\tfrac{1}{3}-2+3\Bigr)-0 =\tfrac{4}{3}.
  2. \displaystyle -\int_{1}^{3}(x^{2}-4x+3)\,dx =-\bigl(F(3)-F(1)\bigr) =-\bigl(0-\tfrac{4}{3}\bigr) =\tfrac{4}{3}.
  3. \displaystyle \int_{3}^{4}(x^{2}-4x+3)\,dx =F(4)-F(3) =\Bigl(\tfrac{64}{3}-32+12\Bigr)-0 =\tfrac{4}{3}.

Passo 6

Somando os três resultados:
\tfrac{4}{3} + \tfrac{4}{3} + \tfrac{4}{3} =\tfrac{12}{3}=4.

Resposta

O valor da integral é 4.

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