Nos problemas 1-18, resolva a equação diferencial dada.
x y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}=0

Passo 1

O enunciado pede a resolução da equação diferencial
x\,y'' - 3\,y' = 0.
Trata-se de uma equação homogênea de segunda ordem com coeficientes variáveis que pode ser reduzida de ordem.

Passo 2

Dividindo por x (supondo x\neq 0), obtemos
y'' - \frac{3}{x}\,y' = 0.
Para reduzir a ordem, definimos a nova função v como
v = y'.

Passo 3

Como v = y', então v' = y''. Substituindo na equação reduzida, vem
\frac{dv}{dx} - \frac{3}{x}\,v = 0,
que é uma equação de primeira ordem linear homogênea (ou tratável como separável).

Passo 4

Em forma separável temos
\frac{dv}{v} = \frac{3}{x}\,dx.
Integrando ambos os lados,
\ln|v| = 3\,\ln|x| + C_{1} \quad\Longrightarrow\quad v = C_{1}\,x^{3}.

Passo 5

Voltando à função original, v = y' implica
y' = C_{1}\,x^{3}.
Integramos em relação a x:
y = \int C_{1}\,x^{3}\,dx = \frac{C_{1}}{4}\,x^{4} + C_{2}.
Renomeando \tfrac{C_{1}}{4} como A e C_{2} como B, a solução geral fica
y = A\,x^{4} + B.

Resposta

y = C_{1}\,x^{4} + C_{2}

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