Calcule as seguintes integrais:
\int_{0}^{1} \operatorname{arcsen}(x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{1}\arcsin(x)\,dx.
O conteúdo necessário é o método de integração por partes para lidar com \arcsin(x) e depois uma substituição simples para integrar uma função racional com raiz.

Passo 2

Vamos usar integração por partes, cuja fórmula é
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.
Escolhemos
u = \arcsin(x), \quad dv = dx.

Passo 3

Calculamos du e v:
du = \frac{d}{dx}\bigl(\arcsin(x)\bigr)\,dx = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\,dx, \qquad v = \int dv = \int dx = x.
Substituindo na fórmula,
\int \arcsin(x)\,dx = x\,\arcsin(x) - \int x\cdot\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\,dx.

Passo 4

Para calcular
\int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}\,dx,
fazemos a substituição t = 1 - x^2, de modo que dt = -2x\,dx. Logo,
\int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}\,dx = -\tfrac12 \int t^{-\tfrac12}\,dt = -\sqrt{t} = -\sqrt{1 - x^2}.

Passo 5

Com isso, um antiderivado de \arcsin(x) é
F(x) = x\,\arcsin(x) + \sqrt{1 - x^2} + C.
Agora avaliamos de 0 a 1:
F(1) = 1\cdot\frac{\pi}{2} + \sqrt{1 - 1^2} = \frac{\pi}{2} + 0, \qquad F(0) = 0\cdot 0 + \sqrt{1 - 0^2} = 1.

Passo 6

Portanto,
\int_{0}^{1}\arcsin(x)\,dx = F(1) - F(0) = \frac{\pi}{2} - 1.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{2} - 1

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