Calcule as seguintes integrais.
\int \sqrt{x}(2-\sqrt{x})^{2} d x

Passo 1

O enunciado pede a integral
\int \sqrt{x}\,(2-\sqrt{x})^{2}\,dx
que envolve radicais. Uma estratégia comum é usar a substituição para eliminar a raiz, transformando tudo em polinômio.

Passo 2

Fazemos a substituição
t = \sqrt{x}, \quad x = t^{2}, \quad dx = 2t\,dt.
Nesse caso \sqrt{x}=t e
(2-\sqrt{x})^{2} = (2 - t)^{2}.
Assim a integral vira
\int \sqrt{x}\,(2-\sqrt{x})^{2}\,dx = \int t\,(2-t)^{2}\cdot (2t\,dt) = 2\int t^{2}\,(2-t)^{2}\,dt.

Passo 3

Expandimos o integrando em t:
t^{2}\,(2-t)^{2} = t^{2}\,(4 - 4t + t^{2}) = 4t^{2} - 4t^{3} + t^{4}.
Logo
2\int t^{2}\,(2-t)^{2}\,dt = 2\int\bigl(4t^{2} - 4t^{3} + t^{4}\bigr)\,dt = 2\Bigl(\int 4t^{2}\,dt - \int 4t^{3}\,dt + \int t^{4}\,dt\Bigr).

Passo 4

Calculamos cada primitiva:
\int 4t^{2}\,dt = \tfrac{4}{3}t^{3}, \quad \int 4t^{3}\,dt = t^{4}, \quad \int t^{4}\,dt = \tfrac{1}{5}t^{5}.
Portanto
2\Bigl(\tfrac{4}{3}t^{3} - t^{4} + \tfrac{1}{5}t^{5}\Bigr) = \tfrac{8}{3}t^{3} - 2t^{4} + \tfrac{2}{5}t^{5} + C.

Passo 5

Voltando à variável original ( t=\sqrt{x}), temos
t^{3} = x^{3/2},\quad t^{4}=x^{2},\quad t^{5}=x^{5/2},
logo a primitiva é
\tfrac{8}{3}x^{3/2} - 2x^{2} + \tfrac{2}{5}x^{5/2} + C.

Resposta

\int \sqrt{x}\,(2-\sqrt{x})^{2}\,dx = \frac{2}{5}\,x^{5/2} - 2\,x^{2} + \frac{8}{3}\,x^{3/2} + C.

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