Calcule as seguintes integrais usando o método de substituição:
\int \frac{5 x}{x^{2}+3} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{5x}{x^{2}+3}\,dx
usando o método de substituição.
Conteúdo: integrais por substituição (trocar x por u de modo a simplificar a integral).

Passo 2

Escolhemos a substituição baseada no denominador:
u = x^{2}+3,
então
du = 2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{1}{2}\,du.
Substituindo em
\displaystyle \int \frac{5x}{x^{2}+3}\,dx
vemos que 5x\,dx = 5\bigl(x\,dx\bigr)=5\cdot\frac{1}{2}\,du=\frac{5}{2}\,du e x^{2}+3 = u. Assim
\int \frac{5x}{x^{2}+3}\,dx = \int \frac{\frac{5}{2}\,du}{u} = \frac{5}{2}\int \frac{1}{u}\,du.

Passo 3

Agora integramos em relação a u:
\frac{5}{2}\int \frac{1}{u}\,du = \frac{5}{2}\ln\bigl|u\bigr| + C.
Por fim voltamos a x usando u=x^{2}+3. Como x^{2}+3>0, podemos retirar as barras de valor absoluto:
\frac{5}{2}\ln\bigl(x^{2}+3\bigr) + C.

Resposta

\frac{5}{2}\ln\bigl(x^{2}+3\bigr) + C

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