Calcule as seguintes integrais.
\int \frac{5 x^{3}-x^{2}+3 x+7}{x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{5x^{3}-x^{2}+3x+7}{x^{2}}\,dx.
O conteúdo aqui é integração de funções racionais simples, que podemos resolver dividindo termo a termo pelo denominador x^2 e depois integrando cada parcela usando as regras de potência e logaritmo.

Passo 2

Dividimos cada termo do numerador por x^2:
\frac{5x^{3}}{x^{2}} = 5x,\quad \frac{-x^{2}}{x^{2}} = -1,\quad \frac{3x}{x^{2}} = 3x^{-1},\quad \frac{7}{x^{2}} = 7x^{-2}.
Logo a integral fica
\int \Bigl(5x - 1 + 3x^{-1} + 7x^{-2}\Bigr)\,dx.

Passo 3

Agora integramos termo a termo:
– Para 5x, usamos \int x\,dx = \tfrac12x^2, logo
\int 5x\,dx = \tfrac{5}{2}x^2.
– Para -1, temos \int -1\,dx = -x.
– Para 3x^{-1}, usamos \int x^{-1}dx = \ln|x|, então
\int 3x^{-1}dx = 3\ln|x|.
– Para 7x^{-2}, usamos \int x^{n}dx = x^{n+1}/(n+1) com n=-2, dando
\int 7x^{-2}dx = 7\cdot\frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{7}{x}.
Somando tudo e incluindo a constante C, obtemos o resultado.

Resposta

\frac{5}{2}x^2 - x + 3\ln\lvert x\rvert - \frac{7}{x} + C

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