Calcule as seguintes integrais usando o método de substituição:
\int \sqrt[5]{3 x-2} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \sqrt[5]{3x-2}\,dx
pelas regras de substituição. Aqui a ideia é identificar uma função interna cuja derivada apareça (ou quase apareça) no integrando, substituir por u e transformar a integral em uma potência simples de u.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = 3x - 2.
Diferenciando ambos os lados em relação a x, obtemos
du = 3\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = \frac{1}{3}\,du.

Passo 3

Reescrevendo a integral em termos de u, temos
\int \sqrt[5]{3x-2}\,dx = \int u^{\tfrac{1}{5}}\,(dx) = \int u^{\tfrac{1}{5}}\;\frac{1}{3}\,du = \frac{1}{3}\,\int u^{\tfrac{1}{5}}\,du.

Passo 4

Agora integramos a potência de u:
\int u^{\tfrac{1}{5}}\,du = \frac{u^{\tfrac{1}{5}+1}}{\tfrac{1}{5}+1} = \frac{u^{\tfrac{6}{5}}}{\tfrac{6}{5}} = \frac{5}{6}\,u^{\tfrac{6}{5}}.
Multiplicando pelo fator \tfrac{1}{3}, obtemos
\frac{1}{3}\cdot\frac{5}{6}\,u^{\tfrac{6}{5}} = \frac{5}{18}\,u^{\tfrac{6}{5}}.

Passo 5

Voltando à variável original x (isto é, u=3x-2), a primitiva fica
\frac{5}{18}\,(3x - 2)^{\tfrac{6}{5}} + C.

Resposta

\int \sqrt[5]{3x-2}\,dx = \frac{5}{18}\,(3x - 2)^{\tfrac{6}{5}} + C.

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