Calcule as seguintes integrais.
\int \operatorname{sen} x(1+\cot x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \operatorname{sen} x\,(1+\cot x)\,dx.
O conteúdo que vamos usar inclui manipulação de identidades trigonométricas (especialmente a definição de \cot x) e a integração termo a termo de funções básicas \operatorname{sen} x e \cos x.

Passo 2

Começamos expandindo o integrando usando \cot x = \frac{\cos x}{\operatorname{sen} x}:
\operatorname{sen} x\,(1+\cot x) = \operatorname{sen} x + \operatorname{sen} x\cdot\frac{\cos x}{\operatorname{sen} x} = \operatorname{sen} x + \cos x.

Passo 3

Agora integramos termo a termo:
\int \operatorname{sen} x\,dx = -\cos x,
\int \cos x\,dx = \operatorname{sen} x.

Passo 4

Somando os resultados e incluindo a constante de integração C, obtemos
\int (\operatorname{sen} x + \cos x)\,dx = -\cos x + \operatorname{sen} x + C.

Resposta

-\cos x + \operatorname{sen} x + C.

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