Exercício 19.0.2. Em cada um dos itens (a) a (f), é dada uma função f em um intervalo de comprimento L. Em cada caso, esboce os gráficos da extensão par e da extensão ímpar de f com período 2 L.
f(x)=\left\{\begin{array}{rr}0, & 0 \leq x<1, \\\ x-1, & 1 \leq x<2 ;\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá a função em [0,2)\) de comprimento \(L=2\): \[f(x)= \begin{cases} 0, & 0 \le x<1,\\\ x-1, & 1 \le x<2, \end{cases}
e pede a extensão par e a extensão ímpar de f\] com período \(2L=4. Para isso, vamos primeiro definir cada extensão em [-2,2) e depois repetir com período 4.

Passo 2

Extensão par: \displaystyle f_{e}(x)=f(|x|) para x\in[-2,2).
– Se -2\le x< -1, então |x|\in(1,2] e
f_{e}(x)=f(|x|)=|x|-1=-x-1.
– Se -1\le x<1, então |x|\in[0,1) e
f_{e}(x)=f(|x|)=0.
– Se 1\le x<2, então |x|\in[1,2) e
f_{e}(x)=f(x)=x-1.

Passo 3

Esboço de f_{e}(x) em [-2,2):
  • No intervalo [-2,-1], reta de equação y=-x-1 que em -2 vale -(-2)-1=1 e em -1 vale -(-1)-1=0.
  • Em [-1,1], y=0.
  • Em [1,2], reta de equação y=x-1 que em 1 vale 0 e em 2 vale 1.
    Depois, repete-se este padrão com período 4.

Passo 4

Extensão ímpar: \displaystyle f_{o}(x)=\sgn(x)\,f(|x|) para x\in[-2,2).
– Se -2\le x< -1, \sgn(x)=-1 e |x|\in(1,2], logo
f_{o}(x)=-\bigl(|x|-1\bigr)=x+1.
– Se -1\le x<1, então |x|<1 e f(|x|)=0, logo f_{o}(x)=0.
– Se 1\le x<2, \sgn(x)=+1 e
f_{o}(x)=+1\cdot(x-1)=x-1.

Passo 5

Esboço de f_{o}(x) em [-2,2):
  • No intervalo [-2,-1], reta de equação y=x+1 que em -2 vale -1 e em -1 vale 0.
  • Em [-1,1], y=0.
  • Em [1,2], reta de equação y=x-1 que em 1 vale 0 e em 2 vale 1.
    Em seguida estende-se com período 4.

Resposta

A extensão par f_{e}(x) é o gráfico constituído por uma “campânula” simétrica em volta de x=0: reta decrescente de ( -2,1) a ( -1,0), depois zero até x=1, depois reta crescente de (1,0) a (2,1), repetida a cada 4 unidades.
A extensão ímpar f_{o}(x) é o mesmo padrão em [0,2) que em [-2,0) refletido com sinal trocado: reta de ( -2,-1) a ( -1,0), zero em [-1,1], reta de (1,0) a (2,1), também repetida com período 4.

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